\(=\dfrac{4+a+4\sqrt{a}-a+6\sqrt{a}-9}{2a-\sqrt{a}}=\)

\(=\dfrac{10\sqrt{a}-5}{2a-\sqrt{a}}=\dfrac{5\left(2\sqrt{a}-1\right)}{\sqrt{a}\left(2\sqrt{a-1}\right)}=\)

\(=\dfrac{5\sqrt{a}}{a}\)

Lời giải:

ĐKXĐ: $a>0; a\neq \frac{1}{4}$
\(A=\frac{(2+\sqrt{a}-\sqrt{a}+3)(2+\sqrt{a}+\sqrt{a}-3)}{\sqrt{a}(2\sqrt{a}-1)}=\frac{5(2\sqrt{a}-1)}{\sqrt{a}(2\sqrt{a}-1)}=\frac{5}{\sqrt{a}}\)

P/s: Lần sau bạn lưu ý ghi đầy đủ yêu cầu đề bài

\(\dfrac{2}{\sqrt{5}-1}-\dfrac{2}{\sqrt{5}+1}\)

\(=\dfrac{2\left(\sqrt{5}+1-\sqrt{5}+1\right)}{\left(\sqrt{5}+1\right)\left(\sqrt{5}-1\right)}\)

\(=\dfrac{2.2}{\left(\sqrt{5}\right)^2-1^2}\)

\(=\dfrac{4}{4}\)

`=1`

\(\dfrac{2}{\sqrt{5}-1}-\dfrac{2}{\sqrt{5}+1}=\dfrac{2\left(\sqrt{5}+1\right)}{4}-\dfrac{2\left(\sqrt{5}-1\right)}{4}=\dfrac{2\sqrt{5}+2-2\sqrt{5}+2}{4}=1\)

\(2\sqrt{144}+\sqrt{100}-\sqrt{81}\)

\(=2\sqrt{12^2}+\sqrt{10^2}-\sqrt{9^2}\)

\(=2.12+10-9\)

\(=25\)

a) \(\left(10+9\right)x-\left(5x-1\right)\left(2x+3\right)+5x-7\)

\(=19x-\left(10x^2+15x-2x-3\right)+5x-7\)

\(=19x-10x^2-13x+3+5x-7\)

\(=-10x^2+11x-4\)

b) \(\left(x+1\right)^2-\left(x-1\right)^2-3\left(x-1\right)\left(x+1\right)\)

\(=\left(x+1+x-1\right)\left(x+1-x+1\right)-3\left(x^2-1\right)\)

\(=4x-3x^2+3\)

c) \(\left(2x+1\right)^2-4\left(x-2\right)\left(x+2\right)-\left(x-3\right)^2\)

\(=\left(2x+1+x-3\right)\left(2x+1-x+3\right)-4\left(x^2-4\right)\)

\(=\left(3x-2\right)\left(x+4\right)-4x^2+16\)

\(=3x^2+12x-2x-8-4x^2+16\)

\(=-x^2+10x+8\)

\(2^{2n+1}+5^{2n}=2^{2n}.2+25^n=4^n.2+25^n\)

- Vì số chính phương khi chia cho 3 thì chỉ có thể dư \(0\) hoặc \(1\).

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}4^nmod3\in\left\{0;1\right\}\\25^nmod3\in\left\{0;1\right\}\end{matrix}\right.\).

Mà \(4^n,25^n\) không chia hết cho \(3\) với mọi \(n\in N\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}4^nmod3=1\\25^nmod3=1\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(4^n.2\right)mod3=2\\25^nmod3=1\end{matrix}\right.\Rightarrow\left(4^n.2+25^n\right)⋮3\)

\(\Rightarrowđpcm\)

Lấy \(H,I,K\) trên \(AB,BC,CA\) sao cho \(DH,EI,FK\) tương ứng vuông góc với \(AB,BC,CA\). Lấy \(G\) đối xứng với \(E\) qua \(BC\). Gọi \(AG\) cắt \(DF\) tại \(J\).

Ta thấy \(\Delta BGC=\Delta BEC\sim\Delta BDA\sim\Delta AFC\). Suy ra \(\Delta BDG~\Delta BAC\sim GFC\). Từ đây \(\dfrac{DG}{AC}=\dfrac{BD}{BA}=\dfrac{AF}{AC}\Rightarrow DG=AF\). Tương tự thì \(FG=AD\). Do đó \(ADGF\) là hình bình hành. Suy ra \(J\) là trung điểm của \(DF,AG.\) 

Ta có \(IK||AB\) do \(\dfrac{IB}{IC}=\dfrac{EB^2}{EC^2}=\dfrac{AF^2}{AC^2}=\dfrac{KA}{KC}\) và \(IH||AC\)

Suy ra \(\Delta DHI\sim\Delta IKF\) vì \(\widehat{DHI}=\widehat{IKF}=90^0+\widehat{BAC}\) và \(\dfrac{DH}{IK}=\dfrac{DH}{AH}=\dfrac{AK}{KF}=\dfrac{HI}{KF}\) . Do vậy:\(\widehat{DIF}=\widehat{DIH}+\widehat{HIK}+\widehat{KIF}=\widehat{DIH}+\widehat{BAC}+\widehat{DHI}=180^0-\left(90^0+\widehat{BAC}\right)+\widehat{BAC}=90^0\)Xét \(\Delta AGE\) có đường trung bình \(IJ\). Suy ra \(AE=2IJ\)

Xét \(\Delta DIF\) có \(\widehat{DIF}=90^0\), \(J\) là trung điểm của \(DF\). Suy ra \(DF=2IJ\)

Vậy \(DF=AE.\)

\(\dfrac{1}{a}\)\(\sqrt{a+1}\) 

Trước tiên dễ dàng tính được \(\widehat{B}=58^o\)

Tam giác ABC vuông tại A nên \(\left\{{}\begin{matrix}AB=AC.tgC\\S_{ABC}=\dfrac{1}{2}AB.AC\end{matrix}\right.\)

Mà \(\widehat{C}=32^o;S_{ABC}=80cm^2\) nên ta có \(\left\{{}\begin{matrix}AB=AC.tg32^o\\\dfrac{1}{2}AB.AC=80\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}AB=AC.tg32^o\\AB.AC=160\end{matrix}\right.\)

Từ 2 điều này, ta có \(AC.tg32^o.AC=160\Leftrightarrow AC^2=\dfrac{160}{tg32^o}\Leftrightarrow AC=\sqrt{\dfrac{160}{tg32^o}}\) \(\approx16\left(cm\right)\) 

Từ đó ta có \(AB=\dfrac{160}{AC}=\dfrac{160}{\sqrt{\dfrac{160}{tg32^o}}}\approx10\left(cm\right)\)

Cuối cùng, ta có: \(BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=\sqrt{\left(\dfrac{160}{\sqrt{\dfrac{160}{tg32^o}}}\right)^2+\left(\sqrt{\dfrac{160}{tg32^o}}\right)^2}\) \(\approx18,869\left(cm\right)\)