Bài toán ghép cơ học không có gì mới

Ta chứng minh 2 bổ đề:

\(\frac{1}{4a^2+b^2+c^2}+\frac{1}{4b^2+c^2+a^2}+\frac{1}{4c^2+a^2+b^2}\le\frac{9}{2\left(a+b+c\right)^2}\left(1\right)\)

\(\frac{9}{2\left(a+b+c\right)^2}\le\frac{1}{2\left(a^2+b^2+c^2\right)}+\frac{1}{ab+bc+ca}\left(2\right)\)

Bất đẳng thức ( 2 ) tương đương với:

\(\frac{\left(a+b+c\right)^2}{a^2+b^2+c^2}+\frac{2\left(a+b+c\right)^2}{ab+bc+ca}\ge9\)

\(\Leftrightarrow\frac{2\left(ab+bc+ca\right)}{a^2+b^2+c^2}+1+\frac{2\left(a^2+b^2+c^2\right)}{ab+bc+ca}+4\ge9\)

\(\Leftrightarrow\frac{ab+bc+ca}{a^2+b^2+c^2}+\frac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ca}\ge2\)( Luôn đúng theo BĐT AM - GM )

 Bất đẳng thức ( 1 ) tương đương với:

\(\left(a+b+c\right)^2\left(\frac{1}{4a^2+b^2+c^2}+\frac{1}{4b^2+c^2+a^2}+\frac{1}{4c^2+a^2+b^2}\right)\le\frac{9}{2}\)

Sử dụng Titu's Lemma ta dễ có:

\(\frac{\left(a+b+c\right)^2}{4a^2+b^2+c^2}=\frac{\left(a+b+c\right)^2}{2a^2+\left(a^2+b^2\right)+\left(a^2+c^2\right)}\le\frac{a^2}{2a^2}+\frac{b^2}{a^2+b^2}+\frac{c^2}{a^2+c^2}\)

Một cách tương tự khi đó:

\(LHS\le\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\Sigma\left(\frac{b^2}{a^2+b^2}+\frac{a^2}{a^2+b^2}\right)=\frac{3}{2}+3=\frac{9}{2}\left(đpcm\right)\)

Vậy ta có đpcm

( 1/2x - 1 )( 2x - 3 )

= 1/2x( 2x - 3 ) - 1( 2x - 3 )

= x² - 3/2x - 2x + 3

= x² - 7/2x + 3 

ghi rõ lại cái question plz

chỗ cách là hỗn số

\(\frac{25}{24}.\frac{27}{5}+\frac{34}{9}.\frac{36}{17}=\frac{45}{8}+\frac{34}{9}.\frac{36}{17}=\frac{45}{8}+8=\frac{109}{8}\)

học tốt

nhớ ghi rõ cách làm ( tính nhanh )

Ta có : \(\frac{3}{5}+\frac{6}{11}+\frac{7}{13}+\frac{2}{5}+\frac{5}{11}+\frac{19}{13}+\frac{1}{2}+\frac{2}{3}-\frac{1}{6}\)

\(=\left(\frac{3}{5}+\frac{2}{5}\right)+\left(\frac{6}{11}+\frac{5}{11}\right)+\left(\frac{7}{13}+\frac{19}{13}\right)+\left(\frac{1}{2}+\frac{2}{3}-\frac{1}{6}\right)\)

\(=1+1+2+1=5\)

AI ĐÓ GIÚP TÔI VỚI

lấy 7 + 7 + 7 +7 + 7 + 7 + 7 là ra

đáp án

a) 5² = 5.5 = 25 

=> 25 = 5²

b) 3⁴ = 3.3.3.3 = 81

4³ = 4.4.4 = 64

81 > 64 => 3⁴ > 4³

c) 10³ < 27³ = (3³)³ = 3⁹ (1)

Lại có 3⁹ < 3¹⁰ ( 2 )

Từ (1) và (2) => 10³ < 3⁹ < 3¹⁰ => 10³ < 3¹⁰

d) 4² = ( 2² )² = 2⁴

=> 2⁴ = 4²

Cảm ơn bạn!

Ta có : \(x^2:\frac{3}{5}=\frac{-3^2}{5}:5x\)

=> \(x^2.5x=\frac{-3^2}{5}.\frac{3}{5}\)

=> \(x^3.5=\frac{-3^3}{5^2}\)

=> \(x^3=\frac{-3^3}{5^3}\)

=> \(x^3=\left(-\frac{3}{5}\right)^3\)

=> \(x=-\frac{3}{5}\)

\(x^2\div\frac{3}{5}=\frac{-3^2}{5}\div5x\)

\(\Leftrightarrow x^2\times5x=\frac{-3^2}{5}\times\frac{3}{5}\)

\(\Leftrightarrow5x^3=-\frac{27}{25}\)

\(\Leftrightarrow x^3=-\frac{27}{125}\)

\(\Leftrightarrow x^3=\left(-\frac{3}{5}\right)^3\)

\(\Leftrightarrow x=-\frac{3}{5}\)