\(M=\sqrt{3}xy+y^2=\frac{1}{2}\left(x^2+2\sqrt{3}xy+3y^2\right)-\frac{1}{2}x^2-\frac{1}{2}y^2\)

\(=\frac{1}{2}\left(x+\sqrt{3}y\right)^2-\frac{1}{2}\ge-\frac{1}{2}\).

Nên GTNN của M là \(-\frac{1}{2}\) đạt được khi  \(x=-\sqrt{3}y\Rightarrow x^2=3y^2\Rightarrow4y^2=1\Rightarrow y=\pm\frac{1}{2}\)

 +,Với \(y=\frac{1}{2}\Rightarrow x=-\frac{\sqrt{3}}{2}\)

+,Với \(y=-\frac{1}{2}\Rightarrow x=\frac{\sqrt{3}}{2}\)

Ta lại có:\(M=\sqrt{3}xy+y^2\le\frac{3x^2+y^2}{2}+y^2=\frac{3x^2+3y^2}{2}=\frac{3}{2}\)

Nên GTLN của M là \(\frac{3}{2}\) đạt được khi \(\sqrt{3}x=y\Rightarrow3x^2=y^2\Rightarrow4x^2=1\Rightarrow x=\pm\frac{1}{2}\)

 +,Với \(x=\frac{1}{2}\Rightarrow y=\frac{\sqrt{3}}{2}\)

 +,Với \(x=-\frac{1}{2}\Rightarrow y=-\frac{\sqrt{3}}{2}\)

M=3xy+y2=21​(x2+23​xy+3y2)−21​x2−21​y2

=\frac{1}{2}\left(x+\sqrt{3}y\right)^2-\frac{1}{2}\ge-\frac{1}{2}=21​(x+3​y)2−21​≥−21​.

Nên GTNN của M là -\frac{1}{2}−21​ đạt được khi  x=-\sqrt{3}y\Rightarrow x^2=3y^2\Rightarrow4y^2=1\Rightarrow y=\pm\frac{1}{2}x=−3y⇒x2=3y2⇒4y2=1⇒y=±21​

 +,Với y=\frac{1}{2}\Rightarrow x=-\frac{\sqrt{3}}{2}y=21​⇒x=−23​​

+,Với y=-\frac{1}{2}\Rightarrow x=\frac{\sqrt{3}}{2}y=−21​⇒x=23​​

Ta lại có:M=\sqrt{3}xy+y^2\le\frac{3x^2+y^2}{2}+y^2=\frac{3x^2+3y^2}{2}=\frac{3}{2}M=3xy+y2≤23x2+y2​+y2=23x2+3y2​=23​

Nên GTLN của M là \frac{3}{2}23​ đạt được khi \sqrt{3}x=y\Rightarrow3x^2=y^2\Rightarrow4x^2=1\Rightarrow x=\pm\frac{1}{2}3x=y⇒3x2=y2⇒4x2=1⇒x=±21​

 +,Với x=\frac{1}{2}\Rightarrow y=\frac{\sqrt{3}}{2}x=21​⇒y=23​​

 +,Với x=-\frac{1}{2}\Rightarrow y=-\frac{\sqrt{3}}{2}x=−21​⇒y=−23​​

\(y=\left(m-2\right)x+2\)(d₁)

Thay m = 4 vào đồ thị hàm số (d₁) ta được:

\(y=\left(4-2\right)x+2\)

\(\Rightarrow y=2x+2\)

Cho x = 0 => y = 2 => A(0 ; 3)

y = 0 => x = -1 => B(-1 ; 0)

Bạn tự vẽ hàm số nhé!

Dễ thấy: MF là đường trung bình của \(\Delta\)PQC => MF // PC => ^FMP = ^APQ (So le trong)

Do PQ là tiếp xúc với đường tròn (MEF) nên ^FMP = ^MEF (Cùng chắn cung MF lớn)

=> ^APQ = ^MEF. Tương tự: ^AQP = ^MFE => \(\Delta\)PAQ ~ \(\Delta\)EMF (g.g) => \(\frac{ME}{AP}=\frac{MF}{AQ}\)

Mà ME = BQ/2; MF = CP/2 => \(\frac{BQ}{AP}=\frac{CP}{AQ}\) (*)

Trên cạnh AB lấy điểm K, trên cạnh AC lấy điểm N sao cho AK=BQ; AN=CP, thế vào (*) => \(\frac{AK}{AP}=\frac{AN}{AQ}\)

=> \(\Delta\)AKP ~ \(\Delta\)ANQ (c.g.c) => ^AKP = ^ANQ => Tứ giác KPNQ nội tiếp 

Dễ dàng chứng minh: \(\Delta\)OAK = \(\Delta\)OBQ (c.g.c) => OK=OQ => O nằm trên trung trực KQ

Tương tự: OP=ON => O nằm trên trung trực của PN.

Từ đó: O là giao điểm 2 đường trung trực của KQ,PN. Lại có: Tứ giác KPNQ nội tiếp (cmt)

=> O là tâm đường tròn (KPNQ) => OP=OQ (đpcm).

xem trên mạng nhé 

thì có sao

WTF !!!

894 + 345 = 1239

45 + 345 = 390

       V nồi ạ!!!!!

Trời ! Sao trên đời này có nhiều đứa ngu quá vậy ?

Trời ! Sao trên đời này có nhiều người chảnh quá vậy ?

2k4 :V

345+43+345+435=1168

345435+465= 345900

345345+56=345401

345345+465=345810

Xét a=1,b=4,c=9 thì P=0

Xét \(a>1,b>4,c>9\)

Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

\(P=\frac{bc.\sqrt{a-1}.1+\frac{ca}{2}.\sqrt{b-4}.2+\frac{ab}{3}.\sqrt{c-9}.3}{abc}\)

\(\le\frac{bc.\frac{a-1+1}{2}+\frac{ca}{2}.\frac{b-4+4}{2}+\frac{ab}{3}.\frac{c-9+9}{2}}{abc}\)

\(=\frac{\frac{abc}{2}+\frac{abc}{4}+\frac{abc}{6}}{abc}=\frac{\frac{11}{12}abc}{abc}=\frac{11}{12}\)

Nên GTLN của P là \(\frac{11}{12}\) đạt được khi \(\hept{\begin{cases}\sqrt{a-1}=1\\\sqrt{b-4}=2\\\sqrt{c-9}=3\end{cases}\Leftrightarrow}\hept{\begin{cases}a-1=1\\b-4=4\\c-9=9\end{cases}\Leftrightarrow}\hept{\begin{cases}a=2\\b=8\\c=18\end{cases}}\)

\(P=\frac{bc\sqrt{a-1}+ca\sqrt{b-4}+ab\sqrt{c-9}}{abc}=\frac{\sqrt{a-1}}{a}+\frac{\sqrt{b-4}}{b}+\frac{\sqrt{c-9}}{c}\)

Vì \(a\ge1;b\ge4;c\ge9\). Áp dụng BĐT Cosi cho các số dương ta được:

\(\sqrt{a-1}=1\cdot\sqrt{a-1}\le\frac{1+a-1}{2}=\frac{a}{2}\). Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\sqrt{a-1}=1\Leftrightarrow a=2\)

\(\sqrt{b-4}=2\cdot\sqrt{b-4}\le\frac{4+b-4}{2}=\frac{b}{2}\). Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\sqrt{b-4}=2\Leftrightarrow b=8\)

\(\sqrt{c-9}=3\cdot\sqrt{c-9}\le\frac{9+c-9}{2}=\frac{c}{2}\). Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\sqrt{c-9}=3\Leftrightarrow c=18\)

\(\Rightarrow P=\frac{\sqrt{a-1}}{a}+\frac{\sqrt{b-4}}{b}+\frac{\sqrt{c-9}}{c}\le\frac{a}{2a}+\frac{b}{2b}+\frac{c}{2c}=\frac{3}{2}\)

Vậy GTLN của P\(=\frac{3}{2}\Leftrightarrow a=2;b=8;c=18\)

fgfff

\(VT=\left(x^2+1\right)\left(x^2+y^2\right)\ge2\sqrt{x^2}.2\sqrt{x^2y^2}=2x.2xy=4x^2y\) ( Cosi ) 

\(VT\ge0\)\(\Rightarrow\)\(VP=4x^2y\ge0\)\(\Rightarrow\)\(y\ge0\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\)\(\hept{\begin{cases}x^2=1\\x^2=y^2\end{cases}\Leftrightarrow x=y=1}\) ( vì \(y\ge0\) ) 

...