\(\frac{3-2\sqrt{2}+2}{\sqrt{3-2\sqrt{2}}}=2\sqrt{2}-1\)

\(\sqrt[3]{\sqrt{5}+2}-\sqrt[3]{\sqrt{5}+2}\)

\(=-\sqrt[3]{\sqrt{5}+2}+\sqrt[3]{\sqrt{5}+2}\)

\(=0\)

Ta có: \(\frac{1}{ab+a+2}=\frac{1}{\left(ab+1\right)+\left(a+1\right)}\)

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng cộng mẫu

Ta có: \(\frac{1}{\left(ab+1\right)+\left(a+1\right)}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{ab+1}+\frac{1}{a+1}\right)\)

                                                   \(=\frac{1}{4}\left(\frac{abc}{ab+abc}+\frac{1}{a+1}\right)=\frac{1}{4}\left[\frac{abc}{ab\left(1+c\right)}+\frac{1}{a+1}\right]=\frac{1}{4}\left(\frac{c}{1+c}+\frac{1}{a+1}\right)\) (1)

CMT² được: \(\frac{1}{bc+b+2}\le\frac{1}{4}\left(\frac{a}{a+1}+\frac{1}{b+1}\right)\) (2)

                    \(\frac{1}{ca+c+2}\le\frac{1}{4}\left(\frac{b}{b+1}+\frac{1}{c+1}\right)\) (3)

Cộng (1);(2) và (3) vế theo vế

Ta được: \(\frac{1}{ab+a+2}+\frac{1}{bc+b+2}+\frac{1}{ca+c+2}\le\frac{1}{4}\left[\left(\frac{c}{c+1}+\frac{1}{c+1}\right)+\left(\frac{a}{a+1}+\frac{1}{a+1}\right)+\left(\frac{b}{b+1}+\frac{1}{b+1}\right)\right]\)

\(=\frac{1}{4}.\left(1+1+1\right)=\frac{3}{4}\)

=> đpcm

Bổ sung:

Đẳng thức xảy ra <=> a = b = c = 1

\(\sqrt{x-\sqrt{x^2}^2}\)

\(\hept{\begin{cases}x+my=1\left(1\right)\\mx+y=1\left(2\right)\end{cases}}\Leftrightarrow x\left(m+1\right)+y\left(m+1\right)=2\) (cộng theo vế (1) và (2) ; tách nhân tử chung)

\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)\left(m+1\right)=2\) (3)

Để hệ có nghiệm duy nhất thì x = y = t

Thay vào (3) \(2a\left(m+1\right)=2\Leftrightarrow a\left(m+1\right)=1\)

Mà x,y > 0 nên a = x + y > 0

Suy ra \(\hept{\begin{cases}a>0\\m+1>0\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x+y>0\\m>-1\end{cases}}\)

Vậy với m > -1 thì phương trình có nghiệm duy nhất: x,y > 0 (không chắc)

thấy bài này bn giải sai sai

\(\frac{x^2}{y-1}+\frac{y^2}{x-1}=\frac{x^2}{y-1}+4.\left(y-1\right)+\frac{y^2}{x-1}+4.\left(x-1\right)-4x-4y+8\)

Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

\(\frac{x^2}{y-1}+\frac{y^2}{x-1}\ge2.\sqrt{\frac{x^2}{y-1}.4\left(y-1\right)}+2.\sqrt{\frac{y^2}{x-1}.4.\left(x-1\right)}-4x-4y+8\)

                               \(=2.\sqrt{4x^2}+2.\sqrt{4.y^2}-4x-4y+8\)

                                \(=4x+4y-4x-4y+8\)

                               \(=8\)

                                  đpcm