Để chứng minh bất đẳng thức 1 < a/b+c+b/c+a+c/a+b < 2, ta sẽ chứng minh từng phần.

Phần 1: Chứng minh 1 < a/b+c+b/c+a+c/a+b

Ta có:
a/b + b/c + c/a > 3√(a/b * b/c * c/a) = 3√(abc/(abc)) = 3

Vậy ta có: a/b + b/c + c/a + b/a + c/b + a/c > 3 + 1 + 1 = 5

Phần 2: Chứng minh a/b+c+b/c+a+c/a+b < 2

Ta có:
a/b + b/c + c/a < a/b + b/a + b/c + c/b = (a+b)/(b+c) + (b+c)/(a+b)

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có:
(a+b)/(b+c) + (b+c)/(a+b) ≥ 2√[(a+b)/(b+c) * (b+c)/(a+b)] = 2

Do đó ta có: a/b+c+b/c+a+c/a+b < 2

Từ đó, ta suy ra bất đẳng thức 1 < a/b+c+b/c+a+c/a+b < 2.

Để chứng minh bất đẳng thức 1 < a/b+c+b/c+a+c/a+b < 2, ta sẽ chứng minh từng phần.

Phần 1: Chứng minh 1 < a/b+c+b/c+a+c/a+b

Ta có:
a/b + b/c + c/a > 3√(a/b * b/c * c/a) = 3√(abc/(abc)) = 3

Vậy ta có: a/b + b/c + c/a + b/a + c/b + a/c > 3 + 1 + 1 = 5

Phần 2: Chứng minh a/b+c+b/c+a+c/a+b < 2

Ta có:
a/b + b/c + c/a < a/b + b/a + b/c + c/b = (a+b)/(b+c) + (b+c)/(a+b)

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có:
(a+b)/(b+c) + (b+c)/(a+b) ≥ 2√[(a+b)/(b+c) * (b+c)/(a+b)] = 2

Do đó ta có: a/b+c+b/c+a+c/a+b < 2

Từ đó, ta suy ra bất đẳng thức 1 < a/b+c+b/c+a+c/a+b < 2.

giúp e vs

Xét Δ vuông ADC ta có :

\(AD=\dfrac{CD}{2}\)

mà AD là cạnh góc vuông, CD là cạnh huyền

⇒ Δ ADC là tam giác nửa đều

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\widehat{ADC}=60^O\\\widehat{DCA}=30^O\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\widehat{ADC}=\widehat{ABC}=60^O\) (hai góc đối hình bình hành) (1)

Ta lại có : \(\widehat{BAC}=\widehat{DCA}\) (so le trong)

mà \(\widehat{DCA}=30^O\)

\(\Rightarrow\widehat{BAC}=30^2\)

mà \(\widehat{DAB}=\widehat{DAC}+\widehat{BAC}\)

\(\Rightarrow\widehat{DAB}=90^o+30^o=120^o\)

\(\Rightarrow\widehat{BCD}=\widehat{DAB}=120^o\) (hai góc đối hình bình hành) (2)

(1), (2)⇒ điều phải tính toán theo đề

Bạn xem lại đề

Lời giải:

Đặt $a^2+a+1=k$ thì:

$A=k(k+1)-12=k^2+k-12=(k-3)(k+4)=(a^2+a-2)(a^2+a+5)$

Với $a>1$, tức là $a\geq 2$ thì $a^2+a-2>2, a^2+a+5>2$ nên $A$ là hợp số (đpcm)

Đề bài cm: A = (a² +a +1)(a² + a + 2) -12 là hợp số với (a \(\in\) N; a > 1)

                                    Giải: 

Vì a > 1; a \(\in\) N ⇒ a ≥ 2;  ⇒ A ≥ (2² + 2 + 1)( 2² + 2 + 2) - 12 = 44

Ta có: a² + a + 2 - (a² + a + 1) = 1 vậy

B = (a²+a 1)(a² + a + 2) là tích của hai số tự nhiên liên tiếp nên B ⋮ 2

A = B - 12 ⋮ 2 ⇒ A ⋮ 1; 2; A ( A >2)  ⇒ A là hợp số Đpcm 

Lời giải:

$15x^2-65x+110=-10$

$\Leftrightarrow 15x^2-65x+120=0$

$\Leftrightarrow 3x^2-13x+24=0$

$\Leftrightarrow 3(x^2-\frac{13}{3}x+\frac{13^2}{6^2})+\frac{119}{12}=0$

$\Leftrightarrow 3(x-\frac{13}{6})^2+\frac{119}{12}=0$ 

$\Leftrightarrow 3(x-\frac{13}{6})^2=-\frac{119}{12}<0$ (vô lý)

Vậy pt vô nghiệm/.

Để chứng minh tứ giác AECF là hình thang, ta cần chứng minh rằng cặp đường chéo AC và EF của tứ giác ABCD giao nhau tại trung điểm của chúng.

Ta có thể chứng minh điều này bằng cách sử dụng định lí phân giác trong tam giác và định lí song song của các cặp đường.

Do góc B và góc D bằng 90 độ, ta có thể suy ra rằng tứ giác ABCD là tứ giác nội tiếp trong đó đường chéo AC là đường chéo chính.

Áp dụng định lí phân giác trong tam giác ACD, ta có:

Đường phân giác của góc A cắt DC tại E
Đường phân giác của góc C cắt AB tại F
Vì AC là đường chéo chính của tứ giác nội tiếp ABCD, nên AC là đường cao của tam giác ACD
Do đó, EF song song với AB (do chúng là các đường phân giác của các góc tương ứng) và EF song song với DC (do chúng cắt AB và DC theo chiều ngược lại). Vậy, EF là đường song song với AB và DC.

Vì AC là đường chéo của tứ giác nội tiếp ABCD và EF là đường song song với AB và DC, nên AC cắt EF tại trung điểm M của nó.

Do đó, tứ giác AECF có hai cặp đường chéo AC và EF giao nhau tại trung điểm M của chúng. Vậy, tứ giác AECF là hình thang.

Tự ghi GT và KL
(vì mik 0 bt gõ kí hiệu góc và độ nên bn tự ghi kí hiệu vào giấy nhé)

Ta có: D=B=90*
     => Tứ giác ABCD là hình chữ nhật
     => A=D=90*
    Hay AD vuông góc với AB; AD vuông góc với DC
    => AB // DC Hay AF // EC (dhnb)
    => Tứ giác AFCE là hình thành

x=3,y=2

Lời giải:

Đặt $7p+1=a^3$ với $a$ là số tự nhiên.

$\Leftrightarrow 7p=a^3-1=(a-1)(a^2+a+1)$

Đến đây có các TH: 

TH1: $a-1=7; a^2+a+1=p$

$\Rightarrow a=8; p=73$ (tm) 

TH2: $a-1=p, a^2+a+1=7$

$\Rightarrow a=2$ hoặc $a=-3$

$\Rightarrow p=1$ hoặc $p=-4$ (không thỏa mãn) 

TH3: $a-1=7p; a^2+a+1=1$ (dễ loại) 

TH4: $a-1=1; a^2+a+1=7p$ (cũng dễ loại)

Ta thấy :

\(2^3=7.1+1\left(p=1\right)\)

\(4^3=7.9+1\left(p=9\right)\)

\(8^3=7.73+1\left(p=73\right)\)

\(16^3=7.585+1\left(p=585\right)\)

\(32^3=7.4681+1\left(p=4681\right)\)

.....

\(\left(2k\right)^3=7.4681+1\left(p=2k\right)\) (k là số chẵn, k>=1)

\(\Rightarrow p\in\left\{1;9;73;585;4681...\right\}\)