Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Áp dụng bất đẳng thức Côsy cho các cặp số không âm (a^2,1);(b^2,1),(c^2,1) ta có: a^2 +1 >= 2a ; b^2 + 1 >= 2b ; c^2 + 1 >= 2c
Do đó: \(\frac{a}{a^2+1}+\frac{b}{b^2+1}+\frac{c}{c^2+1}\le\frac{a}{2a}+\frac{b}{2b}+\frac{c}{2c}=\frac{3}{2}\)
Đẳng thức xảy ra <=> a^2 = 1 ; b^2 = 1 ; c^2 = 1 <=> \(\hept{\begin{cases}a=\pm1\\b=\pm1\\c=\pm1\end{cases}}\)
Ta có: \(VT=\left[\frac{a^2}{b-1}+4\left(b-1\right)\right]+\left[\frac{b^2}{a-1}+4\left(a-1\right)\right]-4a-4b+8\)
\(\ge2\sqrt{\frac{a^2}{b-1}.4\left(b-1\right)}+2\sqrt{\frac{b^2}{a-1}.4\left(a-1\right)}-4a-4b+8\)
\(=2.2a+2.2b-4a-4b+8\)
\(=\left(4a-4a\right)+\left(4b-4b\right)+8=8^{\left(đpcm\right)}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(\frac{a^2}{b-1}=4\left(b-1\right);\frac{b^2}{a-1}=4\left(a-1\right)\)
\(\Leftrightarrow a^2=b^2=4\Leftrightarrow a=b=2\)(t/m)
Easy!
\(A=\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a}\)
\(=\sqrt{\frac{3}{2}}\left[\sqrt{\left(a+b\right).\frac{2}{3}}+\sqrt{\left(b+c\right).\frac{2}{3}}+\sqrt{\left(c+a\right).\frac{2}{3}}\right]\) (*)
Áp dụng BĐT Cô si ngược,ta có:
(*) \(\le\sqrt{\frac{3}{2}}\left[\frac{a+b+\frac{2}{3}}{2}+\frac{b+c+\frac{2}{3}}{2}+\frac{c+a+\frac{2}{3}}{2}\right]\)
\(=\sqrt{\frac{3}{2}}\left(a+b+c+1\right)=\sqrt{\frac{3}{2}}.2=\sqrt{6}^{\left(đpcm\right)}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}a+b=b+c=c+a=\frac{2}{3}\\a+b+c=1\end{cases}\Leftrightarrow}a=b=c=\frac{1}{3}\)
\(ĐK:-1\le x\le2\)
\(PT< =>\sqrt{\left(x+1\right)\left(2-x\right)}-\frac{3}{2}+2x^2-2x-1+\frac{3}{2}=0\)
\(< =>\frac{-x^2+x+2-\frac{9}{4}}{\sqrt{\left(x+1\right)\left(2-x\right)}+\frac{3}{2}}+2x^2-2x+\frac{1}{2}=0\)
\(< =>\frac{-\left(x-\frac{1}{2}\right)^2}{\sqrt{\left(x+1\right)\left(2-x\right)}+\frac{3}{2}}+2\left(x-\frac{1}{2}\right)^2=0\)
\(< =>\left(x-\frac{1}{2}\right)^2\left(\frac{-1}{\sqrt{\left(x+1\right)\left(2-x\right)}+\frac{3}{2}}+2\right)=0\)
\(< =>\orbr{\begin{cases}\left(x-\frac{1}{2}\right)^2=0\\\frac{-1}{\sqrt{\left(x+1\right)\left(2-x\right)}+\frac{3}{2}}+2=0\left(VL\right)\end{cases}}\)
\(< =>x=\frac{1}{2}\left(N\right)\)
Vậy S={1/2}
\(1,\hept{\begin{cases}10x^2+5y^2-2xy-38x-6y+41=0\left(1\right)\\3x^2-2y^2+5xy-17x-6y+20=0\left(2\right)\end{cases}}\)
Giải (1) : \(10x^2+5y^2-2xy-38x-6y+41=0\)
\(\Leftrightarrow10x^2-2x\left(y+19\right)+5y^2-6y+41=0\)
Coi pt trên là pt bậc 2 ẩn x
Có \(\Delta'=\left(y+19\right)^2-50y^2+60y-410\)
\(=-49y^2+98y-49\)
\(=-49\left(y-1\right)^2\)
pt có nghiệm \(\Leftrightarrow\Delta'\ge0\)
\(\Leftrightarrow-49\left(y-1\right)^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow y=1\)
Thế vào pt (2) được x = 2
\(2,\)Đặt\(\left(a\sqrt{a};b\sqrt{b};c\sqrt{c}\right)\rightarrow\left(x;y;z\right)\left(x,y,z>0\right)\)
\(\Rightarrow xy+yz+zx=1\)
Khi đó \(P=\frac{x^4}{x^2+y^2}+\frac{y^4}{y^2+z^2}+\frac{z^4}{x^2+z^2}\)
Áp dụng bđt \(\frac{a^2}{x}+\frac{b^2}{y}+\frac{c^2}{z}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{x+y+z}\left(x;y;z>0\right)\left(Cauchy-engel-type_3\right)\)được
\(P\ge\frac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{2\left(x^2+y^2+z^2\right)}=\frac{x^2+y^2+z^2}{2}\)
Áp dụng bđt x2 + y2 + z2 > xy + yz + zx (tự chứng minh) ta được
\(P\ge\frac{x^2+y^2+z^2}{2}\ge\frac{xy+yz+zx}{2}=\frac{1}{2}\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}xy+yz+zx=1\\x=y=z\end{cases}}\)
\(\Leftrightarrow x=y=z=\frac{1}{\sqrt{3}}\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{a^3}=\sqrt{b^3}=\sqrt{c^3}=\frac{1}{\sqrt{3}}\)
\(\Leftrightarrow a^3=b^3=c^3=\frac{1}{3}\)
\(\Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{\sqrt[3]{3}}\)
Vậy \(P_{min}=\frac{1}{2}\Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{\sqrt[3]{3}}\)
Xét pt \(x^2+xy+y^2-y=0\) (1)
Coi pt trên là pt bậc 2 ẩn x , tham số y
\(\Delta_x=y^2-4y^2+4y\)
\(=-3y^2+4y\)
Pt có nghiệm \(\Leftrightarrow\Delta_x\ge0\)
\(\Leftrightarrow-3y^2+4y\ge0\)
\(\Leftrightarrow0\le y\le\frac{4}{3}\)
\(\Rightarrow y^2\le\frac{16}{9}\)
Pt (1) được viết lại dưới dạng \(y^2+y\left(x-1\right)+x^2=0\)
Coi pt trên là pt bậc 2 ẩn y, tham số x
Có \(\Delta_y=\left(x-1\right)^2-4x^2\)
\(=x^2-2x+1-4x^2\)
\(=-3x^2-2x+1\)
Pt có nghiệm khi \(\Delta_y\ge0\)
\(\Leftrightarrow-3x^2-2x+1\ge0\)
\(\Leftrightarrow-1\le x\le\frac{1}{3}\)
\(\Rightarrow x^3\le\frac{1}{27}\)
Khi đó \(x^3+y^2\le\frac{1}{27}+\frac{16}{9}=\frac{49}{27}< 2\)
=> Hpt vô nghiệm
