Bài 1:

a: BM=2MC

=>\(BM=\dfrac{2}{1+2}BC=\dfrac{2}{3}BC\)

Xét ΔABD có

BC là đường trung tuyến

\(BM=\dfrac{2}{3}BC\)

Do đó: M là trọng tâm của ΔABD

Xét ΔABD có

M là trọng tâm của ΔABD

N là trung điểm của BD

Do đó: A,M,N thẳng hàng

b: Vì M là trọng tâm của ΔABD 

nên DM đi qua trung điểm của AB

Bài 2:

a: G là trung điểm của BK

=>\(BG=GK=\dfrac{BK}{2}\)

Ta có: BG+GM=BM

=>\(GM+\dfrac{2}{3}BM=BM\)

=>\(GM=\dfrac{1}{3}BM\)

=>BG=2GM

=>GK=2GM

=>M là trung điểm của GK

=>MG=MK

Xét ΔKGC có

GE,CM là các đường trung tuyến

GE cắt CM tại I

Do đó: I là trọng tâm của ΔKGC

b: Xét ΔKGC có

I là trọng tâm

CM là đường trung tuyến

Do đó: \(CI=\dfrac{2}{3}CM=\dfrac{2}{3}\cdot\dfrac{1}{2}\cdot AC=\dfrac{1}{3}AC\)

a: Xét ΔABC vuông tại A và ΔAEC vuông tại A có

AB=AE

AC chung

Do đó: ΔABC=ΔAEC

b: Xét ΔCBE có

BH,CA là các đường trung tuyến

BH cắt CA tại M

Do đó: M là trọng tâm của ΔCBE

c: Xét ΔBCE có

A là trung điểm của BE

AK//CE

Do đó: K là trung điểm của CB

Xét ΔBCE có

M là trọng tâm 

K là trung điểm của BC

Do đó: E,M,K thẳng hàng

a: ΔDEF vuông tại D

=>\(\widehat{DEF}+\widehat{DFE}=90^0\)

=>\(\widehat{DFE}+30^0=90^0\)

=>\(\widehat{DFE}=60^0\)

Xét ΔDEF có \(\widehat{DEF}< \widehat{DFE}< \widehat{EDF}\)

mà DF,DE,EF lần lượt là cạnh đối diện của các góc DEF,DFE,EDF

nên DF<DE<EF

b: Xét ΔFDG vuông tại D và ΔFKG vuông tại K có

FG chung

\(\widehat{DFG}=\widehat{KFG}\)

Do đó: ΔFDG=ΔFKG

c: Ta có: ΔFDG=ΔFKG

=>GD=GK

mà GK<GE(ΔGKE vuông tại K)

nên GD<GE

d: Ta có: ΔFDG=ΔFKG

=>FD=FK

Xét ΔFKM vuông tại K và ΔFDE vuông tại D có

FK=FD

\(\widehat{KFM}\) chung

Do đó: ΔFKM=ΔFDE

=>FM=FE

Xét ΔFME có FM=FE và \(\widehat{MFE}=60^0\)

nên ΔFME đều

\(\dfrac{1}{1\cdot2}+\dfrac{1}{2\cdot3}+...+\dfrac{1}{2023\cdot2024}\)

\(=1-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}+...+\dfrac{1}{2023}-\dfrac{1}{2024}\)

\(=1-\dfrac{1}{2024}=\dfrac{2023}{2024}\)

Cảm ơn

c: Xét ΔDBE có

EI,BC là các đường trung tuyến

EI cắt BC tại K

Do đó: K là trọng tâm của ΔDBE

Xét ΔDBE có

K là trọng tâm

EI là đường trung tuyến

Do đó: \(EK=\dfrac{2}{3}EI\)

Ta có: EK+KI=EI

=>\(KI+\dfrac{2}{3}EI=EI\)

=>\(KI=\dfrac{1}{3}EI\)

=>\(\dfrac{IK}{EK}=\dfrac{\dfrac{1}{3}EI}{\dfrac{2}{3}EI}=\dfrac{1}{2}\)

=>\(IK=\dfrac{EK}{2}\)

Sửa đề: IB=ID

a: Xét ΔAHB vuông tại H và ΔAHC vuông tại H có

AB=AC

AH chung

Do đó: ΔAHB=ΔAHC

b; Xét ΔIAB và ΔICD có

IA=IC

\(\widehat{AIB}=\widehat{CID}\)

IB=ID

Do đó: ΔIAB=ΔICD

=>\(\widehat{IAB}=\widehat{ICD}\)

mà hai góc này là hai góc ở vị trí so le trong

nên AB//DC

Xét ΔAHB vuông tại H và ΔAHC vuông tại H có

AB=AC

AH chung

Do đó: ΔAHB=ΔAHC

a: Xét ΔMNO và ΔMBO có

MN=MB

NO=BO

MO chung

Do đó; ΔMNO=ΔMBO

b: ta có: ΔMNO=ΔMBO

=>\(\widehat{NMO}=\widehat{BMO}\)

=>\(\widehat{NMA}=\widehat{BMA}\)

Xét ΔNMA và ΔBMA có

MN=MB

\(\widehat{NMA}=\widehat{BMA}\)

MA chung

Do đó: ΔNMA=ΔBMA

=>AN=AB

a: XétΔABM và ΔACM có

AB=AC

BM=CM

AM chung

Do đó: ΔABM=ΔACM

b: Ta có: ΔAMB=ΔAMC

=>\(\widehat{AMB}=\widehat{AMC}\)

mà \(\widehat{AMB}+\widehat{AMC}=180^0\)(hai góc kề bù)

nên \(\widehat{AMB}=\widehat{AMC}=\dfrac{180^0}{2}=90^0\)

=>AM\(\perp\)BC

Ta có: ΔAMC vuông tại M

=>AC là cạnh lớn nhất trong ΔAMC

=>MC<AC

mà MC=MB

nên BM<AC

c: Xét ΔBAC có DM//AC

nên \(\dfrac{DM}{AC}=\dfrac{BM}{BC}\)

=>\(\dfrac{DM}{AC}=\dfrac{1}{2}\)

=>AC=2DM

mà AC=AB

nên AB=2DM

Bài 9:

a: Xét ΔBAD và ΔBED có

BA=BE

\(\widehat{ABD}=\widehat{EBD}\)

BD chung

Do đó: ΔBAD=ΔBED
b: ta có: ΔBAD=ΔBED
=>DA=DE

=>D nằm trên đường trung trực của AE(1)

Ta có: BA=BE

=>B nằm trên đường trung trực của AE(2)

Từ (1) và (2) suy ra BD là đường trung trực của AE

c: Xét ΔBAC có BD là phân giác

nên \(\dfrac{AD}{AB}=\dfrac{CD}{BC}\)

mà AB<BC(ΔABC vuông tại A)

nên AD<CD

Bài 11:

a: Xét ΔABD và ΔACD có

AB=AC

\(\widehat{BAD}=\widehat{CAD}\)

AD chung

Do đó: ΔABD=ΔACD

b: Xét ΔAHD vuông tại H và ΔAKD vuông tại K có

AD chung

\(\widehat{HAD}=\widehat{KAD}\)

Do đó: ΔAHD=ΔAKD

=>AH=AK

=>ΔAHK cân tại A

c: Xét ΔABC có \(\dfrac{AH}{AB}=\dfrac{AK}{CA}\)

nên HK//BC