Cho a,b,c là 3 số nguyên dương thỏa mãn abc=1 . chứng minh rằng
\(\frac{1}{a^3\left(b+c\right)}+\frac{1}{b^3\left(c+a\right)}+\frac{1}{c^3\left(a+b\right)}\ge\frac{3}{2}\)
Helppp!!!!
Thanks for your helppingg!!!!
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
1) Trước hết ta đi chứng minh BĐT : \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\) với \(a,b>0\) (1)
Thật vậy : BĐT (1) \(\Leftrightarrow\frac{a+b}{ab}-\frac{4}{a+b}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left(a+b\right)^2-4ab}{ab\left(a+b\right)}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left(a-b\right)^2}{ab\left(a+b\right)}\ge0\) ( luôn đúng )
Vì vậy BĐT (1) đúng.
Áp dụng vào bài toán ta có:
\(\frac{1}{4}\left(\frac{4}{a+b}+\frac{4}{b+c}+\frac{4}{a+c}\right)\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{a}+\frac{1}{c}\right)\)
\(=\frac{1}{4}\cdot\left[2.\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\right]=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c\)
Vậy ta có điều phải chứng minh !
Bài 1 :
Áp dụng bất đẳng thức \(\frac{1}{a+b}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\) với a , b > 0
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}\frac{1}{a+b}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\\\frac{1}{b+c}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\\\frac{1}{a+c}\le\frac{1}{2}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{c}\right)\end{cases}}\)
Cộng theo từng vế
\(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{a+c}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{c}\right)\)
\(\Rightarrow\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\le\frac{1}{4}\left(\frac{2}{a}+\frac{2}{b}+\frac{2}{c}\right)\)
\(\Rightarrow\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\le\frac{1}{2}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)( đpcm)
a) Xét \(\Delta\)ABD có: ME // AD
=> \(\frac{BM}{BD}=\frac{EM}{AD}\)(1)
Xét \(\Delta\)CFM có: AD//FM
=> \(\frac{AD}{FM}=\frac{CD}{CM}\)=> \(\frac{CM}{CD}=\frac{FM}{AD}\)(2)
Từ (1); (2) => \(\frac{EM}{AD}+\frac{FM}{AD}=\frac{BM}{BD}+\frac{CM}{CD}\)vì AD là trung tuyến => BD = CD
=> \(\frac{EM+FM}{AD}=\frac{BM+CM}{CD}=\frac{BC}{CD}=2\)
=> \(EM+FM=2AD\)
b) Tứ giác ADMI là hình bình hành
Chứng minh:
I là trung điểm của EF
=> ME + MF = ME + ME + EF = 2ME + 2EI = 2( ME + EI ) = 2MI
mà ME + MF = 2 AD
=> MI = AD
Mặt khác: MI//AD
=> ADMI là hình bình hành
ta có AB=AM+MB=11+8=19 (cm)
xát tgAMN và tgABC có gA chung
gAMN = gABC (hai góc đồng vị của MN//BC)
=>tgAMN ~ tgABC (g.g)
=>AM/AB=AN/AC=>11/19=AN/38
=>AN=22 (cm)
ta có AC=AN+NC=>NC = 38-22=16(cm)
Ta có: \(\frac{3\left(2y-3\right)}{5}-7=\frac{2\left(y-4\right)}{3}+\frac{3y+13}{8}\)
\(\Leftrightarrow y=49\)