a) \(\left(a+b\right)^3-a^3-b^3\)

\(=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3-a^3-b^3\)

\(=3a^2b+3ab^2\)

\(=3ab\left(a+b\right)\)

b) \(\left(x+y\right)^4+x^4+y^4\)

\(=x^4+4x^3y+6x^2y^2+4xy^3+y^4+x^4+y^4\)

\(=2x^4+2y^4+4x^2y^2+4x^3y+4xy^3+2x^2y^2\)

\(=2\left(x^4+2x^2y^2+y^4\right)+4xy\left(x^2+y^2\right)+2x^2y^2\)

\(=2\left[\left(x^2+y^2\right)^2+2xy\left(x^2+y^2\right)+x^2y^2\right]\)

\(=2\left(x^2+y^2+xy\right)^2\)

Đồng bậc

\(a^3+b^3\le a^4+b^4\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(a^3+b^3\right)\le2\left(a^4+b^4\right)\)

\(\Leftrightarrow a^4+b^4+ab^3+a^3b\le2a^4+2b^4\)

\(\Leftrightarrow a^3\left(a-b\right)-b^3\left(a-b\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\left(a^2+ab+b^2\right)\ge0\) ( true )

\(b, 8(a^3+b^3+c^3)≥(a+b)^3 + (b+c)^3 + (c+a)^3 \) với \(a,b,c>0\)

Ta biến đổi thành: \(4\left(a^3+b^3\right)-\left(a+b\right)^3+4\left(b^3+c^3\right)-\left(b+c\right)^3+4\left(c^3+a^3\right)-\left(c+a\right)^3\ge0\)

Xét: \(4\left(a^3+b^3\right)-\left(a+b\right)^3\)

\(=\left(a+b\right)\left[4\left(a^2-ab+b^2\right)-\left(a+b\right)^2\right]\)

\(=3\left(a+b\right)\left(a-b\right)^2\ge0\)

Tương tự như trên với:  \(4\left(b^3+c^3\right)-\left(b+c\right)^3\) và \(4\left(c^3+a^3\right)-\left(c+a\right)^3\)

\(\RightarrowĐpcm\)(Viết cái đề ra ý)

Đẳng thức xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c\)

y^3 - y^2 - 21y + 45 = 0

<=> y^3 - 3y^2 + 2y^2 - 6y - 15y + 45 = 0

<=> y^2(y - 3) + 2y(y - 3) - 15(y - 3) = 0

<=> (y^2 + 2y - 15)(y-3) = 0

<=> (y^2 + 5y - 3y - 15)(y - 3) = 0

<=> [y(y+5) - 3(y-5)](y-3) = 0

<=> (y-3)(y+5)(y-3) = 0

<=> y- 3 = 0 hoặc y + 5 = 0

<=> y = 3 hoặc y = -5

1)3(x^3+1) + 2x(x+1)=8

suy ra : 3(x+1)(x^2 +x+1) + 2x(x+1) =8

suy ra : (x+1) ( 3( x^2+x+1)  +2x) -8 =0

suy ra : (x+1) ( 3x^2 +3x+3+2x) -8 =0

mk ko bt nữa

Gọi \(I\) là giao điểm điểm \(BD\)và \(AC\).

Xét \(\Delta ABD\)có tia p.giác \(AM\)có: \(\frac{AB}{AD}=\frac{BM}{DM}\)

Tương tự ta có: \(\frac{CD}{AD}=\frac{CN}{AN}\)

Mà: \(AB=CD\Rightarrow\frac{BM}{DM}=\frac{CN}{AN}\)

Từ trên ta suy ra: \(\frac{BM}{DM}+1=\frac{CN}{AN}+1\Leftrightarrow\frac{BD}{DM}=\frac{AC}{AN}\Leftrightarrow\frac{AI}{DM}=\frac{AI}{AN}\)

\(\Rightarrow MN//AD\left(đpcm\right)\)

10, \(5x^3+11y^3=-13z^3\)

\(\Rightarrow5x^3+11y^3⋮13\)

\(\Rightarrow x,y⋮13\)

\(\Rightarrow z⋮13\)

Đến đây dùng lùi vô hạn nhé

4. Nếu em đã tìm hiểu về giai thừa thì ở bài 4, chúng ta có thêm điều kiện: x, y, z là số tự nhiên và x,y < z

+) TH1: x = 0; y = 0 => z = 2 (tm)

+) TH2: x = 0; y = 1=> z = 2(tm)

+) Th3: x= 1; y = 0 => z = 2(tm)

+) TH4: x = 1; y= 1 => z = 2 (tm)

+) TH5: y > 1 

với \(x\le y\)

Khi đó: x! = 1.2.3...x; 

            y! = 1.2.3...x.(x+1)...y

            z! = 1.2.3....x.(x+1)...y(y+1)...z

Từ (4) <=> 1 + (x+1).(x+2)...y = (x + 1)....y(y+1)...z

<=> ( x+1)(x+2)...y[(y+1)...z - 1 ] = 1

<=> \(\hept{\begin{cases}\left(x+1\right)\left(x+2\right)...y=1\\\left(y+1\right)...z-1=1\end{cases}}\)vô lí vì y > 1

Với \(y\le x\)cũng làm tương tự và loại'

Vậy:...

\(ĐKXĐ:x\ne0\)

\(\frac{x-1}{x^2-x+1}-\frac{x+1}{x^2+x+1}=\frac{10}{x\left(x^4+x^2+1\right)}\)

\(\Leftrightarrow\frac{\left(x-1\right)\left(x^2+x+1\right)-\left(x+1\right)\left(x^2-x+1\right)}{\left(x^2-x+1\right)\left(x^2+x+1\right)}-\frac{10}{x\left(x^2+x+1\right)\left(x^2-x+1\right)}=0\)

\(\Leftrightarrow\frac{x^3-1-x^3-1}{\left(x^2-x+1\right)\left(x^2+x+1\right)}-\frac{10}{x\left(x^2+x+1\right)\left(x^2-x+1\right)}=0\)

\(\Leftrightarrow\frac{-2}{\left(x^2-x+1\right)\left(x^2+x+1\right)}-\frac{10}{x\left(x^2+x+1\right)\left(x^2-x+1\right)}=0\)

\(\Leftrightarrow\frac{-2x-10}{x\left(x^2-x+1\right)\left(x^2+x+1\right)}=0\)

\(\Leftrightarrow-2x-10=0\)

\(\Leftrightarrow x=-5\)

Vậy \(x=-5\)là nghiệm của phương trình.