=> căn a × căn (a-3)^2

=> căn a × |a-3|

=> căn a×(a-3)

=> căn a × căn (a-3)^2

=> căn a ×|a-3|

=> căn a × (a-3)

\(\sqrt{4x^2-2x+\frac{1}{4}}=4x^3-x^2+8x-2\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{4x\left(x-\frac{1}{4}\right)-\left(x-\frac{1}{4}\right)}=4x^2\left(x-\frac{1}{4}\right)+8\left(x-\frac{1}{4}\right)\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{\left(x-\frac{1}{4}\right)\left(4x-1\right)}=\left(x-\frac{1}{4}\right)\left(4x^2+8\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(x-\frac{1}{4}\right)\left(4x-1\right)=\left(x-\frac{1}{4}\right)^2\left(4x^2+8\right)^2\)

\(\Leftrightarrow4\left(x-\frac{1}{4}\right)=\left(x-\frac{1}{4}\right)\left(4x^2+8\right)^2\)

\(\Leftrightarrow4=\left(4x^2+8\right)^2\)

\(\Leftrightarrow2=4x^2+8\)

\(\Leftrightarrow0=4x^2+6\)( vô lý )

=> phương trình vô nghiệm

Có gì sai sót xin bỏ qua

Em nghĩ là thế này chứ ạ?

Do vế trái không âm nên vế phải cũng không âm. Nên ta có điều kiện xác định như sau:

ĐKXĐ: \(\hept{\begin{cases}4x^2-2x+\frac{1}{4}\ge0\\4x^3-x^2+8x-2\ge0\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}4\left(x-\frac{1}{4}\right)^2\ge0\left(\text{hiển nhiên}\right)\\\left(x-\frac{1}{4}\right)\left(4x^2+8\right)\ge0\left(1\right)\end{cases}}\)

Giải (1): Do \(4x^2+8>0\forall x\) do đó \(\left(1\right)\Leftrightarrow x-\frac{1}{4}\ge0\Leftrightarrow x\ge\frac{1}{4}\)

Xét x = 1/4  là một nghiệm của phương trình.

Xét x > 1/4. PT \(\Leftrightarrow\sqrt{4\left(x-\frac{1}{4}\right)^2}=\left(x-\frac{1}{4}\right)\left(4x^2+8\right)\) 

Do x > 1/4 nên \(4\left(x-\frac{1}{4}\right)^2>0\).Phương trình trở thành:

\(2\left(x-\frac{1}{4}\right)=\left(x-\frac{1}{4}\right)\left(4x^2+8\right)\)

Do x > 1/4 nên x - 1/4 > 0.Chia hai vế cho x - 1/4.Phương trình tương đương với:

\(4x^2+8=2\Leftrightarrow4x^2+6=0\)

Phương trình này vô nghiệm do \(4x^2+6>0\forall x\)

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 1/4

Có gì sai sót xin bỏ qua ạ.Em mới lớp 7

Áp dụng bất đẳng thức cosi ta có

\(\frac{a^3}{b}+ab\ge2\sqrt{\frac{a^3}{b}.ab}=2a^2\)

\(\frac{b^3}{c}+bc\ge2b^2\)

\(\frac{c^3}{a}+ac\ge2c^2\)

=> \(VT\ge2a^2+2b^2+2c^2-ab-bc-ac\)

Lại có \(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ac\)(bất đẳng thức cosi)

=>\(VT\ge ab+bc+ac\)(đpcm)

Ta có:

\(\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow2\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge2\left(ab+bc+ca\right)\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\)

Dấu " = " xảy ra <=. a=b=c

Đặt \(P=\frac{a^3}{b}+\frac{b^3}{c}+\frac{c^3}{a}\)

\(P=\frac{a^4}{ab}+\frac{b^4}{bc}+\frac{c^4}{ac}\)

Áp dụng BĐT Cauchy-schwarz dạng engel ta có:

\(P\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{ab+bc+ca}\ge\frac{\left(ab+bc+ca\right)^2}{ab+bc+ca}=ab+bc+ca\)

Dấu " = " xảy ra <=. a=b=c

VÌ \(\sqrt{x^2+48}-\sqrt{x^2+35}>0\)

=> \(x>\frac{3}{4}\)

Phương trình tương đương

\((x+6-\sqrt{x^2+48})+3\left(x-1\right)+\left(\sqrt{x^2+35}-6\right)=0\)

=> \(\frac{12\left(x-1\right)}{x+6+\sqrt{x^2+48}}+3\left(x-1\right)+\frac{x^2-1}{\sqrt{x^2+35}+6}=0\)

\(\hept{\begin{cases}x=1\\\frac{12}{x+6+\sqrt{x^2+48}}+3+\frac{x+1}{\sqrt{x^2+35}+6}=0\left(2\right)\end{cases}}\)

Phương trình (2) vô nghiệm do x>3/4=> VT>0