Cho a,b,c,d>0 và a+b+c+d=4
Chúng minh rằng \(\frac{1}{ab}+\frac{1}{cd}\ge\frac{a^2+b^2+c^2+d^2}{2}\)
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Cho a,b,c,d>0 và a+b+c+d=4
Chúng minh rằng \(\frac{1}{ab}+\frac{1}{cd}\ge\frac{a^2+b^2+c^2+d^2}{2}\)
\(B=\frac{2}{1-x}+\frac{1}{x}\)
\(B=\left(\frac{2}{1-x}-1\right)+\left(\frac{1}{x}-1\right)+2\)
\(B=\frac{1+x}{1-x}+\left(\frac{1}{x}-1\right)+2\)
\(B=\left(\frac{1}{1-x}-1\right)+\frac{x}{1-x}+\left(\frac{1}{x}-1\right)+3\)
\(B=\frac{x}{1-x}+\frac{x}{1-x}+\frac{1-x}{x}+3\)
\(B=\frac{2x}{1-x}+\frac{1-x}{x}+3\)
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(B\ge2.\sqrt{2}+3\)
Dấu " = " xảy ra <=> \(x=\sqrt{2}-1\)( cái này bạn tự giải rõ )
KL:..............................
do vai trò a,b là như nhau nên không giảm tính tổng quát, giả sử \(a\le b\)
Nếu \(a\ge3\)thì \(b\ge a\ge3\)nên
\(\frac{ab+1}{a+b}\ge\frac{3b+1}{a+b}\ge\frac{3b+1}{2b}=\frac{3}{2}+\frac{1}{2b}>\frac{3}{2}\)( ko thỏa mãn điều kiện )
do đó a < 3 \(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}a=1\\a=2\end{cases}}\)
+) nếu a = 1 thì \(P=\frac{a^3b^3+1}{a^3+b^3}=\frac{b^3+1}{b^3+1}=1\)
+) nếu a = 2 thì từ điều kiện ta có : \(\frac{2b+1}{2+b}< \frac{3}{2}\Rightarrow4b+2< 6+3b\Rightarrow b< 4\Rightarrow b\in\left\{1;2;3\right\}\)
b = 1 thì P = 1
b = 2 thì P = \(\frac{65}{16}\)
b = 3 thì P = \(\frac{217}{35}\)
Từ các giá trị trên của P ta thấy giá trị lớn nhất của P là \(\frac{217}{35}\) khi a = 2 ; b = 3 hoặc a = 3 ; b = 2
\(A-B=\frac{2\sqrt{x}}{\sqrt{x}+1}-\frac{\sqrt{x}+1}{1-\sqrt{x}}+\frac{3\sqrt{x}-1}{x-1}\)
\(\Leftrightarrow M=\frac{2\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-1\right)}{x-1}+\frac{\left(\sqrt{x}+1\right)^2}{x-1}+\frac{3\sqrt{x}-1}{x-1}\)
\(\Leftrightarrow M=\frac{2x-2\sqrt{x}+x+2\sqrt{x}+1+3\sqrt{x}-1}{x-1}=\frac{3x+3\sqrt{x}}{x-1}=\frac{3\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+1\right)}{\left(\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{x}-1\right)}=\frac{3\sqrt{x}}{\sqrt{x}-1}\)
Để \(M< 4\Rightarrow\frac{3\sqrt{x}}{\sqrt{x}-1}< 4\)
Nếu x>=1
\(\Rightarrow3\sqrt{x}\le4\sqrt{x}-4\)
\(\Leftrightarrow4\le\sqrt{x}\)
\(\Leftrightarrow x\le16\)
Nếu x<1
\(\Rightarrow3\sqrt{x}>4\sqrt{x}-4\)
\(\Leftrightarrow4>\sqrt{x}\)
\(\Rightarrow16>x\)
Ko có x thỏa mãn