Em không vẽ được hình, xin thông cảm

a, Ta có góc EAN=  cungEN=cung EC+ cung EN

Mà cung EC= cung EB(E là điểm chính giữa cung BC)

=> góc EAN=cungEB+ cung EN=góc DFE (tính chất góc ở giữa)

=> tam giác AEN đồng dạng tam giác FED

Vậy tam giác AEN đồng dạng tam giác FED

b,Ta có EC=EB=EM

Tam giác EMC cân tại E => EMC=ECM

 MÀ EMC+AME=180, ECM+ABE=180

=> AME = ABE

=> tam giác ABE= tam giác AME

=> AB=AM => tam giác ABM cân tại A

Mà AE là phân giác => AE vuông góc BM

CMTT => AC vuông góc EN

MÀ AC giao BM tại M

=> M là trực tâm tam giác AEN

Vậy M là trực tâm tam giác AEN

c,  Gọi H là giao điểm OE với đường tròn (O) (H khác E) => O là trung điểm của EH

Vì M là trực tâm của tam giác AEN

=> \(EN\perp AN\)

Mà \(OI\perp AN\)(vì I là trung điểm của AC)

=> \(EN//OI\)

MÀ O là trung điểm của EH

=> I là trung điểm của MH (đường trung bình trong tam giác )

=> tứ giác AMNH là hình bình hành 

=> AH=MN

Mà MN=NC

=> AH=NC

=> cung AH= cung NC

=> cung AH + cung KC= cung KN

Mà cung AH+ cung KC = góc KMC(tính chất góc ở giữa 2 cung )

NBK là góc nội tiếp chắn cung KN

=> gócKMC=gócKBN

Hay gócKMC=gócKBM

=> CM là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác MBK( ĐPCM)

Vậy CM là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác BMK

Anh Khang nè,e cung cấp hình nha:3

Ta có AH=DE ( vì ADHE là hcn)

mà AH²=BH.BC

=> AH⁴=HB².HC²=BD.CE.BC.BA

=> AH³=BD.CE.BC

Bình phương 2 vế ta có:

\(a+1+2\sqrt{a}>a+1\)

\(\Leftrightarrow2\sqrt{a}>0\left(true\right)\)

\(\Rightarrow Q.E.D\)

Bình phương 2 vế ta có :

\(a-1-2\sqrt{a}>a-1\)

\(\Leftrightarrow2\sqrt{a}>0\)(đúng với \(\forall\)\(a\))

Vậy \(\sqrt{a}+1>\sqrt{a+1}\)

Đặt \(\sqrt[3]{2-x}=a,\sqrt[3]{7+x}=b\)

=> \(\hept{\begin{cases}a^3+b^3=9\\a^2+b^2-ab=3\end{cases}}\)

<=> \(\hept{\begin{cases}\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)=9\\a^2+b^2-ab=3\end{cases}}\)

=> \(\hept{\begin{cases}a+b=3\\ab=2\end{cases}}\)=> \(\orbr{\begin{cases}a=1,b=2\\a=2,b=1\end{cases}}\)

=> \(x=1,x=-6\)

Vậy \(S=\left\{-6,1\right\}\)

Ta có

\(\left(x-1\right)^3-2=3\sqrt[3]{3\left(x-1\right)+2}\)

Đặt \(\sqrt[3]{3\left(x-1\right)+2}=a\), \(x-1=t\)

=> \(\hept{\begin{cases}t^3-2=3a\left(1\right)\\a^3-2=3t\left(2\right)\end{cases}}\)

Lấy (1)-(2)

=> \(t^3-a^3=3\left(a-t\right)\)

<=> \(\orbr{\begin{cases}a=t\\a^2+at+t^2+3=0\left(3\right)\end{cases}}\)

Phương trình (3) vô nghiệm do VT>0

=> \(\sqrt[3]{3x-1}=x-1\)

<=> \(x^3-3x^2=0\)

<=> \(\orbr{\begin{cases}x=0\\x=3\end{cases}}\)

Vậy \(S=\left\{0;3\right\}\)

đặt y = ³√(2x-1) <=> y³ = 2x-1 <=> y³ + 1 = 2x ; ta có hệ p/trình: 
{ x³+1 = 2y (1*) 
{ y³+1 = 2x (2*) 

(1*) - (2*): x³-y³ = 2y-2x <=> (x-y)(x²+xy+y²) + 2(x-y) = 0 
<=> (x-y)(x²+xy+y² +2) = 0 

thấy x²+xy+y² +2 = (x + y/2)² + 3y²/4 + 2 > 0 vơi mọi x, y 
nên ptrình trên chỉ cho 1 khã năng: x-y = 0 <=> x = y ; thay vào (1*) 
x³+1 = 2x <=> x³-x = x-1 <=> x(x-1)(x+1) = x-1 <=> (x-1)(x²+x-1) = 0 
+ [ x = 1 
+ [ x²+x-1 = 0 <=> x = (-1-√5)/2 ; x = (-1+√5)/2 
KL: p/trình có 3 nghiệm trên 

P/s : Mời bạn tham khảo ^^

#)Giải :

Đặt \(A=\sqrt{4+\sqrt{10+2\sqrt{5}}}+\sqrt{4-\sqrt{10-2\sqrt{5}}}\)

\(\Rightarrow A^2=4+\sqrt{10+2\sqrt{5}}+4-\sqrt{10+2\sqrt{5}}+2.\sqrt{16-\left(10-2\sqrt{5}\right)}\)

\(\Rightarrow A^2=8+2.\sqrt{6-2\sqrt{5}}\)

\(\Rightarrow A^2=8+2.\sqrt{\left(\sqrt{5}-1\right)^2}\)

\(\Rightarrow A^2=8+2\left(\sqrt{5}-1\right)\)

\(\Rightarrow A^2=6+2\sqrt{5}\)

\(A>0\Rightarrow A=\sqrt{6+2\sqrt{5}}=\sqrt{\left(\sqrt{5}+1\right)^2}=\sqrt{5}+1\)

\(\Rightarrow A=\sqrt{5}+1\)

a)ĐKXĐ \(\orbr{\begin{cases}x\ge3+\sqrt{2}\\x\le3-\sqrt{2}\end{cases}}\)

Đặt \(\sqrt{x^2-6x+7}=a\ge0.\)\(\Rightarrow x^2-6x+7=a^2\Leftrightarrow x^2-6x=a^2-7\)

Ta có phương trình:

\(a^2-7+a=5\Leftrightarrow a^2+a-12=0\Leftrightarrow a^2-3a+4a-12=0\)

\(\Leftrightarrow a\left(a-3\right)+4\left(a-3\right)=0\Leftrightarrow\left(a-3\right)\left(a+4\right)=0\)

\(\Leftrightarrow a-3=0\)(Vì \(a\ge0\rightarrow a+4\ge4\))

\(\Leftrightarrow a=3\Leftrightarrow\sqrt{x^2-6x+7}=3\)

\(\Leftrightarrow x^2-6x+7=9\Leftrightarrow x^2-6x-2=0\)

Ta có \(\Delta^'=3^2-\left(-2\right)=11>0\)

\(\Rightarrow x_1=3-\sqrt{11}\)(TMĐK)

\(x_2=3+\sqrt{11}\)(TMĐK)

Kết luận vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt .............

b) ĐKXĐ: \(x\ge-1\)

Đặt \(\sqrt{x+1}=a\ge0;\sqrt{x+6}=b>0\)

\(\Rightarrow b^2-a^2=x+6-\left(x+1\right)=5\)

Ta có hệ phương trinh :\(\hept{\begin{cases}a+b=5\\b^2-a^2=5\end{cases}\Leftrightarrow}\hept{\begin{cases}\left(b-a\right)\left(b+a\right)=5\\a+b=5\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}b-a=1\\a+b=5\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=2\\b=3\end{cases}}}\)(TMĐK)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\sqrt{x+1}=2\\\sqrt{x+6}=3\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x+1=4\\x+6=9\end{cases}\Leftrightarrow}}x=3\left(TMĐK\right).\)

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là ...

Chỗ đó bạn viết đề mình không biết vế phải bằng 5 hay 55 nữa

Nếu là 55 thì làm tương tự và chỗ hệ thay bằng \(\hept{\begin{cases}a+b=55\\b^2-a^2=5\end{cases}}\)Giải tương tự tìm được \(\hept{\begin{cases}a=\frac{302}{11}\\b=\frac{303}{11}\end{cases}\Leftrightarrow x=\frac{91083}{121}\left(TMĐK\right).}\)

c) ĐKXĐ \(x\ge1\)

 \(\sqrt{x+3-4\sqrt{x-1}}+\sqrt{x+8-6\sqrt{x-1}}=4\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{x-1-2.\sqrt{x-1}.2+4}+\sqrt{x-1-2.\sqrt{x-1}.3+9}=4\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{\left(\sqrt{x-1}-2\right)^2}+\sqrt{\left(\sqrt{x-1}-3\right)^2}=4\)

\(\Leftrightarrow|\sqrt{x-1}-2|+|\sqrt{x-1}-3|=4\)(3)

* Nếu \(\sqrt{x-1}< 2\)phương trình (3) tương đương với

\(2-\sqrt{x-1}+3-\sqrt{x-1}=4\Leftrightarrow2\sqrt{x-1}=1\)

\(\Leftrightarrow x-1=\frac{1}{4}\Leftrightarrow x=\frac{5}{4}\left(TMĐK\right)\)

* Nếu \(2\le\sqrt{x-1}\le3\)phương trình (3) tương đương với

\(\sqrt{x-1}-2+3-\sqrt{x-1}=4\Leftrightarrow1=4\left(loại\right)\)

* Nếu \(\sqrt{x-1}>3\)phương trình (3) tương đương với

\(\sqrt{x-1}-2+\sqrt{x-1}-3=4\)\(\Leftrightarrow2\sqrt{x-1}=9\Leftrightarrow\sqrt{x-1}=\frac{9}{2}\Leftrightarrow x-1=\frac{81}{4}\Leftrightarrow x=\frac{85}{4}\left(TMĐK\right)\)

Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt .......

'

67+1=66

54+1=55

67 + 1= 66

54 + 1= 55

Điểm rơi: a=b=c=1

Xét \(a^5+\frac{1}{a}\ge2a^4\)(dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a=1) Trùng với điểm rơi cả Bđt nhá

Tương tự: \(b^5+\frac{1}{b}\ge2b^4\)và \(c^5+\frac{1}{c}\ge2c^4\)

Công lại: \(a^5+b^5+c^5+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge2\left(a^4+b^4+c^4\right)\)

Cm: bđt phụ sao: \(a^4+b^4+c^4\ge\frac{\left(a+b+c\right)^4}{27}\left(1\right)\)

Có: \(\hept{\begin{cases}a^4+b^4+c^4\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{3}\\a^2+b^2+c^2\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}\end{cases}\Rightarrow\left(1\right)}\)

Vì thế: \(Bđt\ge2\left(a^4+b^4+c^4\right)\ge2\cdot\frac{\left(a+b+c\right)^4}{27}=2\cdot\frac{3^4}{3^3}=6\)

Theo bất đẳng thức cô-si

a,b,c>0

=> a⁵+1/a \(\ge\)2√(a⁵.1/a)= 2a²

Cmtt => b^5+1/b \(\ge\)2b²

1/c+c^5 \(\ge\)2c²

=> A\(\ge\)2( a²+b²+c²) \(\ge\)2.(a+b+c)²/3    ( do a²+b²+c² \(\ge\)

(a+b+c)²/3 , cai  nanày câu co thE tu cm)

A\(\ge\)2.3²/3= 6(dpcm)