\(x+y+z+8=2\sqrt{x-1}+4\sqrt{y-2}+6\sqrt{z-3}\)

\(\Rightarrow\left(x-1\right)-2\sqrt{x-1}+1\)\(+\left(y-2\right)-4\sqrt{y-2}+4\)\(+\left(z-3\right)-6\sqrt{z-3}+9\)\(=0\)

\(\Rightarrow\left(\sqrt{x-1}-1\right)^2+\left(\sqrt{y-2}-2\right)^2+\left(\sqrt{z-3}-3\right)^2=0\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}\sqrt{x-1}-1=0\\\sqrt{y-2}-2=0\\\sqrt{z-3}-3=0\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}\sqrt{x-1}=1\\\sqrt{y-2}=2\\\sqrt{z-3}=3\end{cases}\Rightarrow}\hept{\begin{cases}x=2\\y=6\\z=12\end{cases}}}\)

\(x+y+z+8=2\sqrt{x-1}+4\sqrt{y-2}+6\sqrt{z-3}\)

\(\left(x-1-2\sqrt{x-1}+1\right)+\left(y-2-2\sqrt{y-2}.2+4\right)+\left(z-3-2\sqrt{z-3}.3+9\right)=0\)

\(\left(\sqrt{x-1}-1\right)^2+\left(\sqrt{y-2}-2\right)^2+\left(\sqrt{z-3}-3\right)^2=0\)( 1 )

Mà \(\left(\sqrt{x-1}-1\right)^2+\left(\sqrt{y-2}-2\right)^2+\left(\sqrt{z-3}-3\right)^2\ge0\)( 2 )

Từ ( 1 ) và ( 2 ) \(\Rightarrow\left(\sqrt{x-1}-1\right)^2=\left(\sqrt{y-2}-2\right)^2=\left(\sqrt{z-3}-3\right)^2=0\)

từ đó tìm được : \(x=2;y=6;z=12\)

Ta có : a= \(\sqrt[3]{2-\sqrt{3}}\)  + \(\sqrt[3]{2+\sqrt{3}}\)

Suy ra a^3 = 3a +4  => (a^2 -3)a=4  

<=> \(\left(\frac{4}{a^2-3}\right)^3\)= a^3  <=>\(\frac{64}{\left(a^2-a\right)^3}\) -3a = 4   

mà 4 nguyên suy ra đpcm

Ta có \(a=3\sqrt{2-\sqrt{3}}+\sqrt{3}^32_{\sqrt{3}}\)

Suy ra ta được 3= 3a + 4 => (a ngũ 2 - 3)a =4

Vậy kết quả khi tính đ là

=> (4 trên a2 - 3) trên 3 =a ngũ 3 <=> 64 trên a 2 - a3 - 3a =4

#)Thắc mắc ?

Bạn ơi ! chỗ kia là \(\sqrt{x}-7hay\sqrt{x+7}\)thế ???????????????

#)Giải :

\(5\sqrt{x-1}-\sqrt{x-7}=3x-4\)

ĐKXĐ : \(x\ge1\)

Đặt \(\hept{\begin{cases}\sqrt{x-1}=a\ge0\\\sqrt{x+7=b>0}\end{cases}\Rightarrow3x-4}=\frac{25a^2-b^2}{8}\)

Phương trình trở thành : 

\(5a-b=\frac{25a^2-b^2}{8}\Leftrightarrow\left(5a-b\right)\left(5a+b\right)=8\left(5a-b\right)\)

 \(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}5a-b=0\\5a+b=8\end{cases}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}5\sqrt{x-1}=\sqrt{x+7}\\5\sqrt{x-1}+\sqrt{x+7}=8\end{cases}}}\)

\(TH1:5\sqrt{x+1}=\sqrt{x+7}\Leftrightarrow25\left(x-1\right)=x+7\Rightarrow x=\frac{4}{3}\)

\(TH2:5\sqrt{x-1}+\sqrt{x+7}=8\)

\(\Leftrightarrow5\sqrt{x-1}-5+\sqrt{x+7}-3=0\)

\(\Leftrightarrow\frac{5\left(x-2\right)}{\sqrt{x-1}+1}+\frac{x-2}{\sqrt{x-7}+3}=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-2\right)\left(\frac{5}{\sqrt{x-1}+1}+\frac{1}{\sqrt{x-7}+3}\right)=0\)

\(\Rightarrow x=2\)

Ta có :

            \(5\sqrt{x}-1-\sqrt{x}+7=3x-4\)

     \(\Leftrightarrow4\sqrt{x}=3x-10\)

     \(\Leftrightarrow\left(4\sqrt{x}\right)^2=\left(3x-10\right)^2\)

     \(\Leftrightarrow16x=9x^2-60x+100\)

     \(\Leftrightarrow9x^2-76x+100=0\)

\(\Delta=\left(-76\right)^2-4.9.100=2176>0\)

Nên phương trình có 2 nghiệm phân biệt là :

\(x_1=\frac{76-\sqrt{2176}}{18}=\frac{38-4\sqrt{34}}{9}\)

\(x_2=\frac{76+\sqrt{2176}}{18}=\frac{38+4\sqrt{34}}{9}\)

Sửa lại min -> max nhé

\(MaxA=\left(\frac{2}{\sqrt{x}}-x\right)\left(\frac{2}{\sqrt{y}}-y\right)\left(\frac{2}{\sqrt{z}}-z\right)\)

a thấy chú đổi dấu đề bài và chuyển từ min->max a chưa xem đề có tồn tại extreme value k nhưng a hỏi trc chú có thật sự hiểu thế nào là min,max ko ?  

Giả sử tồn tại các số nguyên \(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5,x_6,x_7\)thỏa mãn phương trình.

Nhận thấy \(x^4_1,,x^4_2,,x^4_3,,x^4_4,x^4_5,x^4_6,x_7^4\) chia cho 16 dư 0 hoặc 1, nên x₁⁴   + x₂⁴ + x₃⁴  + x₄⁴  + x₅⁴ + x₆⁴ + x₇⁴ chia cho 16 có số dư là một trong các số 0,   1   ,  2    ,  3   ,4    ,   5,    6,   7   .

Trong đó số 2008 chia cho 16 dư 8. Hai điều này mâu thuẫn với nhau.

Vậy không tồn tại các số nguyên x1, x2,...,x7 thỏa mãn đề bài.

Giả sử tồn tại \(A,B\inℤ\)để có đẳng thức \(99999+11111\sqrt{3}=\left(A+B\sqrt{3}\right)^2\)

Suy ra \(99999+11111\sqrt{3}=A^2+3B^2+2\sqrt{3}AB\)

\(\Leftrightarrow2\sqrt{3}AB-11111\sqrt{3}=99999-A^2-3B^2\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{3}\left(2AB-11111\right)=99999-A^2-3B^2\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{3}=\frac{99999-A^2-3B^2}{2AB-11111}\)

Dễ thấy Vế trái là một số vô tỉ; Vế phải là một số hữu tỉ => Vô lí

Vậy số \(99999+11111\sqrt{3}\)không thể biểu diễn dưới dạng \(\left(A+B\sqrt{3}\right)^2.\)

\(x^3+y^3+z^3=x+y+z+2011\)

\(\Leftrightarrow\left(x^3-x\right)+\left(y^3-y\right)+\left(z^3-z\right)=2011\)

\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)x\left(x+1\right)+\left(y-1\right)y\left(y+1\right)+\left(z-1\right)z\left(z+1\right)=2011\)

ta sẽ chứng minh trong 3 số tự nhiên liên tiếp sẽ có 1 số chia hết cho 3

thật vậy:

gọi 3 số tự nhiên liên tiếp là: a,a+1,a+2 (a thuộc N)

a có 1 trong 3 dạng: 3k;3k+1;3k+2 ( k thuộc N)

+) a=3k => a chia hết cho 3

+) a=3k+1 => a+2=3k+3 chia hết cho 3

+) a=3k+2 => a+1=3k+3 chia hết cho 3 

nên: trong 3 số x-1;x;x+1 có 1 số chia hết cho 3; tương tự với 3 số y-1;y;y+1 và: z-1;z;z+1 cũng vậy nên: 

(x-1)x(x+1); (y-1)y(y+1); (z-1)z(z+1) đều chia hết cho 3 => (x-1)x(x+1)+(y-1)y(y+1)+(z-1)z(z+1)  chia hết cho 3

=> 2011 chia hết cho 3 (vô lí)

nên không tìm được x,y,z thỏa mãn

1, \(\sqrt{5+2\sqrt{6}}\)=\(\sqrt{2+2\sqrt{6}+3}\) =\(\sqrt{\left(\sqrt{2}+\sqrt{3}\right)^2}\)=\(\sqrt{2}+\sqrt{3}\)

2,\(\sqrt{11+2\sqrt{30}}\)=\(\sqrt{5+2\sqrt{30}+6}\)=\(\sqrt{\left(\sqrt{5}+\sqrt{6}\right)^2}\)=\(\sqrt{5}+\sqrt{6}\)

3, \(\sqrt{8-2\sqrt{15}}\)=\(\sqrt{5-2\sqrt{15}+3}\)=\(\sqrt{\left(\sqrt{5}-\sqrt{3}\right)^2}\)=\(\sqrt{5}-\sqrt{3}\)

4,\(\sqrt{7-4\sqrt{3}}\)=\(\sqrt{4-4\sqrt{3}+3}\)=\(\sqrt{\left(2-\sqrt{3}\right)^2}\)=\(2-\sqrt{3}\)

5,\(\sqrt{12-2\sqrt{35}}\)=\(\sqrt{7-2\sqrt{35}+5}=\sqrt{\left(\sqrt{7}-\sqrt{5}\right)^2}\) =\(\sqrt{7}-\sqrt{5}\)

6,\(\sqrt{14-6\sqrt{5}}=\sqrt{9-6\sqrt{5}+5}=\sqrt{\left(3-\sqrt{5}\right)^2}=3-\sqrt{5}\)

Mình chỉ làm đc tới đây thui sorry bn nha