a) \(\sqrt{x+3}+\sqrt{x^2+9}\)

Ta thấy \(x^2\ge0\Rightarrow x^2+9\ge9\Rightarrow\sqrt{x^2+9}\ge3\)(luôn xác định)

Vậy để biểu thức xác định thì \(\sqrt{x+3}\)phải xác định

\(\Rightarrow x+3\ge0\Leftrightarrow x\ge-3\)

Vậy \(ĐKXĐ:x\ge-3\)

b) \(\sqrt{\frac{x-1}{x+2}}\)

Để biểu thức trên xác định thì x - 1 và x + 2 cùng dấu

\(TH1:\hept{\begin{cases}x-1>0\\x+2>0\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x>1\\x>-2\end{cases}}\Rightarrow x>1\)

\(TH1:\hept{\begin{cases}x-1< 0\\x+2< 0\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x< 1\\x< -2\end{cases}}\Rightarrow x< -2\)

Vậy \(ĐKXĐ:x>1;x< -2\)

\(2\sqrt{\left(-5\right)^6}+3\sqrt{\left(-2\right)^8}.\)

\(=2\sqrt{\left(\left(-5\right)^3\right)^2}+3\sqrt{\left(\left(-2\right)^4\right)^2}\)

\(=2\cdot\left(-5\right)^3+3\cdot\left(-2\right)^4\)

\(=2\cdot125+3\cdot16=250+48=298\)

\(\Rightarrow2\sqrt{\left(-5\right)^6}+3\sqrt{\left(-2\right)^8}=298\)

\(2\sqrt{\left(-5\right)^6}+3\sqrt{\left(-2\right)^8}\)

\(=2\times125+3\times16\)

\(=250+48\)

\(=298\)

a) Xét tam giác BHP và tam giác CHB có: \(\widehat{HPB}=\widehat{HBC}\)( cùng phụ góc PBH) (1)

và \(\widehat{PHB}=\widehat{BHC}\left(=90^o\right)\)

=> tam giác BHP ~  tam giác CHB 

=> \(\frac{BH}{HC}=\frac{BP}{BC}\Leftrightarrow\frac{BH}{HC}=\frac{BQ}{DC}\)( vì BP=BQ, BC=DC)

Ta lại có : \(\widehat{HPB}=\widehat{HCD}\) ( so le trong) (2)

Từ (1) , (2) => \(\widehat{HBC}=\widehat{HCD}\)   =>  \(\widehat{HBQ}=\widehat{HCD}\)

Xét tam giác HBQ và tam giác HCD có:

\(\frac{BH}{HC}=\frac{BQ}{DC}\); \(\widehat{HBQ}=\widehat{HCD}\)

=>  tam giác HBQ ~tam giác HCD 

b)  Có:  tam giác HBQ ~tam giác HCD  ( theo a)

=> \(\widehat{DHC}=\widehat{QHB}\)

mà \(\widehat{QHB}+\widehat{QHC}=\widehat{BHC}=90^o\)

=> ​\(\widehat{DHC}+\widehat{QHC}=\widehat{DHQ}=90^o\)

\(a,\)\(\sqrt{x^2-2x+1}=\sqrt{\left(x-1\right)^2}\)

\(đkxđ\Leftrightarrow\sqrt{\left(x-1\right)^2}\ge0\)

\(\Rightarrow x-1\ge0\Rightarrow x\ge1\)

\(b,\)\(\sqrt{x+3}+\sqrt{x+9}\)

\(đkxđ\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x+3\ge0\\x+9\ge0\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}x\ge-3\\x\ge-9\end{cases}}}\)

\(\Rightarrow x\ge-3\)

\(c,\)\(\sqrt{\frac{x-1}{x+2}}\)

\(đkxđ\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x+2\ne0\\\frac{x-1}{x+2}\ge0\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}x\ne-2\\\frac{x-1}{x+2}\ge0\end{cases}}}\)

\(\frac{x-1}{x+2}\ge0\)\(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}x-1\ge0;x+2>0\\x-1\le0;x+2< 0\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}x\ge-1;x>-2\\x\le1;x< 2\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}x\ge-1\\x< 2\end{cases}}\)

Vậy căn thức xác định khi x \(\ge\)-1 hoawck x < 2

\(5\sqrt{3}-4=\sqrt{75}-4;3\sqrt{5}=\sqrt{45}\)

\(\left(\sqrt{75}-4\right)^2=71-2\sqrt{75.4}=71-4\sqrt{75}< 71-4\sqrt{64}=71-32=39\)

\(\left(\sqrt{45}\right)^2=45\)

mà 2 số đều dương nên:

\(3\sqrt{5}>5\sqrt{3}-4\)

Tại sao \(\left(\sqrt{75}-4\right)^2\), khi triển khai  hằng đẳng thức lại chỉ còn có 71

Do ab là số tự nhiên => Ta có:  TH1:a và b là hai số tự nhiên

                                                  TH2:a và b là hai số nguyên âm

Mặt khác a+b là số tự nhiên nên ta lại có: +Với TH1(như trên):a+b=số tự nhiên + số tự nhiên =số tự nhiên(hợp lí)

                                                                   +Với TH2(như trên):a+b=số nguyên âm + số nguyên âm=số tự nhiên(vô lí/loại)

Do a và b đều là số tự nhiên=> aⁿ+bⁿ là số tự nhiên

Vậy aⁿ+bⁿ là số tự nhiên