a: Khi m=2 thì phương trình sẽ trở thành:

\(x^2-2\left(2-1\right)x-2\cdot2-1=0\)

=>\(x^2-2x-5=0\)

=>\(x^2-2x+1=6\)

=>\(\left(x-1\right)^2=6\)

=>\(x-1=\pm\sqrt{6}\)

=>\(x=1\pm\sqrt{6}\)

b: \(\text{Δ}=\left[-2\left(m-1\right)\right]^2-4\cdot1\cdot\left(-2m-1\right)\)

\(=\left(2m-2\right)^2+4\left(2m+1\right)\)

\(=4m^2-8m+4+8m+4=4m^2+8>0\) với mọi m

=>Phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt

Theo Vi-et, ta có:

\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}=2\left(m-1\right)=2m-2\\x_1x_2=\dfrac{c}{a}=-2m-1\end{matrix}\right.\)

\(2x_1+3x_2+3x_1x_2=-11\)

=>\(2x_1+3x_2+3\left(-2m-1\right)=-11\)

=>\(2x_1+3x_2=-11-3\cdot\left(-2m-1\right)=-11+6m+3=6m-8\)

Do đó, ta có hệ:

\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2m-2\\2x_1+3x_2=6m-8\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}2x_1+2x_2=4m-4\\2x_1+3x_2=6m-8\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}-x_2=4m-4-6m+8\\x_1+x_2=2m-2\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}x_2=2m-4\\x_1=2m-2-\left(2m-4\right)=2\end{matrix}\right.\)

\(x_1\cdot x_2=-2m-1\)

=>-2m-1=2(2m-4)

=>4m-8=-2m-1

=>6m=7

=>\(m=\dfrac{7}{6}\)

a)

Với m = 2 ta có PT: \(x^2-2x-5=0\)

\(\Delta=\left(-2\right)^2-4\cdot1\cdot\left(-5\right)=4+20=24>0\)

\(\Rightarrow\) PT có 2 nghiệm phân biệt

\(x_1=\dfrac{2+\sqrt{24}}{2}=\dfrac{2+2\sqrt{6}}{2}=1+\sqrt{6}\)

\(x_2=\dfrac{2-\sqrt{24}}{2}=\dfrac{2-2\sqrt{6}}{2}=1-\sqrt{6}\)

b)

Theo Vi-ét ta có:\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2\left(m-1\right)\left(1\right)\\x_1\cdot x_2=-2m-1\left(2\right)\end{matrix}\right.\)

Theo đề bài ta có: \(2x_1+3x_2+3x_1x_2=-11\Leftrightarrow2x_1+3x_2=-3\left(-2m-1\right)-11\left(3\right)\)

Từ (1)(3) ta có:

\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2\left(m-1\right)\\2x_1+3x_2=6m+3-11=6m-8\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}3x_1+3x_2=6m-6\\2x_1+3x_2=6m-8\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_1=6m-6-6m+8=2\\x_1+x_2=2m-2\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_1=2\\2+x_2=2m-2\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_1=2\\x_2=2m-4\end{matrix}\right.\)

Thay x₁,x₂ vào (2) ta có:

\(2\cdot\left(2m-4\right)=-2m-1\)

\(\Leftrightarrow4m-8=-2m-1\)

\(\Leftrightarrow6m=7\)

\(\Leftrightarrow m=\dfrac{7}{6}\)

Bài 3:

Phương trình hoành độ giao điểm là:

\(x^2=3x-2\)

=>\(x^2-3x+2=0\)

=>(x-1)(x-2)=0

=>\(\left[{}\begin{matrix}x=1\\x=2\end{matrix}\right.\)

Khi x=1 thì \(y=1^2=1\)

Khi x=2 thì \(y=2^2=4\)

Vậy: (P) giao (d) tại A(1;1); B(2;4)

bài 2:

a: Thay x=2 vào y=-x+4, ta được:

\(y=-2+2=2=y_A\)

Vậy: A(2;2) thuộc (d)

b: Thay x=2 và y=2 vào y=ax², ta được:

\(a\cdot2^2=2\)

=>4a=2

=>\(a=\dfrac{1}{2}\)

Khi a=1/2 thì (P): \(y=\dfrac{1}{2}x^2\)

Phương trình hoành độ giao điểm là:

\(\dfrac{1}{2}x^2=-x+4\)

=>\(\dfrac{1}{2}x^2+x-4=0\)

=>\(x^2+2x-8=0\)

=>(x+4)(x-2)=0

=>\(\left[{}\begin{matrix}x=-4\\x=2\end{matrix}\right.\)

Khi x=-4 thì \(y=-\left(-4\right)+4=8\)

Vậy: Giao điểm thứ hai là B(-4;8)

c: O(0;0); A(2;2); B(-4;8)

\(OA=\sqrt{\left(2-0\right)^2+\left(2-0\right)^2}=2\sqrt{2}\)

\(OB=\sqrt{\left(-4-0\right)^2+\left(8-0\right)^2}=4\sqrt{5}\)

\(AB=\sqrt{\left(-4-2\right)^2+\left(8-2\right)^2}=6\sqrt{2}\)

Vì \(OA^2+AB^2=OB^2\)

nên ΔAOB vuông tại A

=>\(S_{AOB}=\dfrac{1}{2}\cdot AB\cdot AO=\dfrac{1}{2}\cdot2\sqrt{2}\cdot6\sqrt{2}=12\)

a: Để (d) cắt trục Ox một góc \(\alpha\)=45 độ thì \(a=tan\alpha=tan45\)

=>a=1

b: Khi a=1 thì y=x-2

=>x-y-2=0

Khoảng cách từ O đến (d) là:

\(d\left(O;\left(d\right)\right)=\dfrac{\left|0\cdot1+0\cdot\left(-1\right)-2\right|}{\sqrt{1^2+\left(-1\right)^2}}=\dfrac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}\)

1: Thay m=1 vào (d), ta được;

\(y=2x-1^2+9=2x+8\)

Phương trình hoành độ giao điểm là: 

\(x^2=2x+8\)

=>\(x^2-2x-8=0\)

=>(x-4)(x+2)=0

=>\(\left[{}\begin{matrix}x=4\\x=-2\end{matrix}\right.\)

Khi x=4 thì \(y=2\cdot4+8=16\)

Khi x=-2 thì \(y=2\cdot\left(-2\right)+8=4\)

Vậy: (d) cắt (P) tại A(4;16); B(-2;4)

2: Phương trình hoành độ giao điểm là:

\(x^2=2x-m^2+9\)

=>\(x^2-2x+m^2-9=0\)

Để (d) cắt (P) tại 2 điểm nằm về hai phía so với trục tung thì a*c<0

=>\(m^2-9< 0\)

=>\(m^2< 9\)

=>-3<m<3

a: Thay m=3 vào phương trình, ta được:

\(x^2-2\left(3+1\right)x-9=0\)

=>\(x^2-8x-9=0\)

=>(x-9)(x+1)=0

=>\(\left[{}\begin{matrix}x=9\\x=-1\end{matrix}\right.\)

b: Thay x=2 vào phương trình, ta được:

\(2^2-2\left(m+1\right)\cdot2-9=0\)

=>-4(m+1)-5=0

=>4(m+1)+5=0

=>4m+9=0

=>4m=-9

=>\(m=-\dfrac{9}{4}\)

c: Vì \(a\cdot c=1\cdot\left(-9\right)=-9< 0\)

nên phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt

Theo Vi-et, ta có:

\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}=2\left(m+1\right)\\x_1x_2=\dfrac{c}{a}=-9\end{matrix}\right.\)

x1<x2 nên x1<0; x2>0

mà \(\left|x_1\right|-\left|x_2\right|=-6\) nên x2+x1>0

=>\(2\left(m+1\right)>0\)

=>m+1>0

=>m>-1

\(\left|x_1\right|-\left|x_2\right|=-6\)

=>\(x_1^2+x_2^2-2\left|x_1x_2\right|=36\)

=>\(\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2-2\left|x_1x_2\right|=36\)

=>\(\left(2m+2\right)^2-2\cdot\left(-9\right)-2\cdot\left|-9\right|=36\)

=>\(\left(2m+2\right)^2+18-18=36\)

=>\(\left(2m+2\right)^2=36\)

=>(2m-4)(2m+8)=0

=>\(\left[{}\begin{matrix}m=2\left(nhận\right)\\m=-4\left(loại\right)\end{matrix}\right.\)

Gọi số học sinh đội KHTN ở học kì 2 là x(bạn)

(Điều kiện: \(x\in Z^+\))

Số học sinh đội Toán ở học kì 2 là \(\dfrac{3}{4}x\left(bạn\right)\)

Số học sinh đội KHTN ở học kì 1 là x+5(bạn)

Số học sinh đội Toán ở học kì 1 là \(\dfrac{3}{4}x-5\left(bạn\right)\)

Ở học kì 1, số học sinh đội toán ít hơn đội KHTN là 50 bạn nên ta có:

\(x+5-\left(\dfrac{3}{4}x-5\right)=50\)

=>\(\dfrac{1}{4}x+10=50\)

=>x=160(nhận)

Vậy: số học sinh đội KHTN ở học kì 2 là 160 bạn

số học sinh đội Toán ở học kì 2 là \(160\cdot\dfrac{3}{4}=120\left(bạn\right)\)

2.

a.

Do MA, MB là các tiếp tuyến \(\Rightarrow\widehat{MAO}=\widehat{MBO}=90^0\)

\(\Rightarrow\) A và B cùng nhìn OM dưới 1 góc vuông nên MAOB nội tiếp

Theo tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau: \(MA=MB\)

Lại có \(OA=OB=R\)

\(\Rightarrow\) OM là trung trực của AB

\(\Rightarrow OM\) vuông góc AB tại H

b.

Do AC là đường kính \(\Rightarrow\widehat{ABC}=90^0\) (góc nt chắn nửa đường tròn)

\(\Rightarrow OM||CN\) (cùng vuông góc AB)

Trong tam giác ACN, OM qua trong điểm O của cạnh bên AC và song song cạnh đáy CN

\(\Rightarrow\) OM là đường trung bình tam giác ACN

\(\Rightarrow M\) là trung điểm AN

Do \(BK||AN\) (cùng vuông góc AC), áp dụng định lý Talet:

\(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{IK}{AM}=\dfrac{CI}{CM}\\\dfrac{IB}{MN}=\dfrac{CI}{CM}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\dfrac{IK}{AM}=\dfrac{IB}{MN}\)

Mà M là trung điểm AN (cmt) \(\Rightarrow AM=MN\)

\(\Rightarrow IK=IB\) (1)

Vẫn áp dụng định lý talet:

\(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{IK}{AF}=\dfrac{EI}{EF}\\\dfrac{IB}{FM}=\dfrac{EI}{EF}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\dfrac{IK}{AF}=\dfrac{IB}{FM}\) (2)

(1);(2) \(\Rightarrow AF=FM\) hay F là trung điểm AM

Mà O là trung điểm AC (gt)

\(\Rightarrow OF\) là đường trung bình tam giác ACM

\(\Rightarrow OF||CM\)

1.

Trong tam giác vuông ACD:

\(cotA=\dfrac{AC}{DC}\)

Trong tam giác vuông BCD:

\(cotB=\dfrac{BC}{DC}\)

\(\Rightarrow cotA-cotB=\dfrac{AC}{DC}-\dfrac{BC}{DC}=\dfrac{AC-BC}{DC}=\dfrac{1}{DC}\)

\(\Rightarrow DC=\dfrac{1}{cotA-cotB}=\dfrac{1}{cot32^0-cot40^0}\)

\(\Rightarrow DC\approx2,4475\left(km\right)\)

Bài 1:

2: 

a: Xét tứ giác MAOB có \(\widehat{MAO}+\widehat{MBO}=90^0+90^0=180^0\)

nên MAOB là tứ giác nội tiếp

Xét (O) có

MA,MB là các tiếp tuyến

Do đó: MA=MB

=>M nằm trên đường trung trực của AB(1)

Ta có: OA=OB

=>O nằm trên đường trung trực của AB(2)

Từ (1) và (2) suy ra MO là đường trung trực của AB

=>MO\(\perp\)AB tại H và H là trung điểm của AB

b: Xét (O) có

ΔABC nội tiếp

AC là đường kính

Do đó: ΔABC vuông tại B

=>AB\(\perp\)CN tại B

=>ΔABN vuông tại B

Ta có: \(\widehat{MBN}+\widehat{MBA}=\widehat{ABN}=90^0\)

\(\widehat{MNB}+\widehat{MAB}=90^0\)

mà \(\widehat{MBA}=\widehat{MAB}\)(MA=MB)

nên \(\widehat{MBN}=\widehat{MNB}\)

=>MB=MN

mà MB=MA

nên MN=MA

=>M là trung điểm của AN

Bài 2:

2:

a: Xét tứ giác OBMC có \(\widehat{OBM}+\widehat{OCM}=90^0+90^0=180^0\)

nên OBMC là tứ giác nội tiếp

b: Xét (O) có

\(\widehat{MBF}\) là góc tạo bởi tiếp tuyến BM và dây cung BF

\(\widehat{BEF}\) là góc nội tiếp chắn cung BF

Do đó: \(\widehat{MBF}=\widehat{BEF}\)

Xét ΔMBF và ΔMEB có

\(\widehat{MBF}=\widehat{MEB}\)

\(\widehat{BMF}\) chung

Do đó: ΔMBF~ΔMEB

=>\(\dfrac{MB}{ME}=\dfrac{MF}{MB}\)

=>\(MB^2=ME\cdot MF\)

Vẽ giúp mình hình nha

3.1

Gọi số sản phẩm phải làm theo kế hoạch mỗi ngày là x (với x>0)

Thời gian quy định phải làm là: \(\dfrac{1000}{x}\) (ngày)

Thực tế mỗi ngày đội làm được: \(x+10\) (sản phẩm)

Thực tế đội làm được tổng cộng: \(1000+80=1080\) sản phẩm

Thực tế đội làm hết số ngày là: \(\dfrac{1080}{x+10}\)

Do đội làm sớm hơn kế hoạch 2 ngày nên ta có pt:

\(\dfrac{1000}{x}-\dfrac{1080}{x+10}=2\)

\(\Rightarrow500\left(x+10\right)-540x=x\left(x+10\right)\)

\(\Leftrightarrow x^2+50x-5000=0\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=50\\x=-100\left(loại\right)\end{matrix}\right.\)

1.

Gọi phương trình hàm số có dạng \(y=ax+b\)

Do đồ thị hàm số song song với đường \(y=2x-\sqrt{3}\Rightarrow a=2\)

\(\Rightarrow y=2x+b\) (1)

Do đồ thị hàm số đi qua A, thay tọa độ A vào (1) ta được:

\(2.\left(-1\right)+b=\dfrac{2}{3}\)

\(\Rightarrow b=\dfrac{8}{3}\)

Vậy pt hàm số có dạng: \(y=2x+\dfrac{8}{3}\)

Gọi năng suất dự định là x(tấn/ngày)

(Điều kiện: x>0)

Năng suất thực tế là x+4(tấn/ngày)

90% số lượng thép là \(400\cdot90\%=360\left(tấn\right)\)

Thời gian thực tế làm được 360 tấn thép là: \(\dfrac{360}{x+4}\left(ngày\right)\)

Thời gian dự kiến hoàn thành là \(\dfrac{400}{x}\left(ngày\right)\)

Theo đề, ta có phương trình:

\(\dfrac{400}{x}-\dfrac{360}{x+4}=5\)

=>\(\dfrac{80}{x}-\dfrac{72}{x+4}=1\)

=>\(\dfrac{80x+320-72x}{x\left(x+4\right)}=1\)

=>\(8x+320=x^2+4x\)

=>\(x^2-4x-320=0\)

=>(x-20)(x+16)=0

=>\(\left[{}\begin{matrix}x=20\left(nhận\right)\\x=-16\left(loại\right)\end{matrix}\right.\)

vậy: Năng suất dự kiến là 20 tấn/ngày

Thời gian dự kiến là 400/20=20 ngày