K O C A B I H 1 1

Xét tam giác ABO vuông tại B và ACO  vuông tại C

có: AB=AC , AO chung

=> \(\Delta ABO=\Delta ACO\)

=> BO=CO

Xét tam giác DBC có: BO=CO=KO

=> Tam giác KBC vuông tại B

=> KB vuông góc với CI

Xét tam giác IKC vuông tại K có KB là dường cao

=> \(BK^2=IB.BC\Rightarrow\frac{BK}{IB}=\frac{BC}{BK}\)(1)

Ta có tam giác OBK vuông cân tại O và tam giác ABC cân tại A

=> \(\widehat{ABC}=\widehat{ACB};\widehat{OBK}=\widehat{OKB}\)(2)

mà \(\widehat{OBK}+\widehat{OBC}=\widehat{CBK}=90^o=\widehat{ABO}=\widehat{ABC}+\widehat{OBC}\)

=> \(\widehat{OBK}=\widehat{ABC}\)(3)

Từ (2) và (3) suy ra : \(\frac{AB}{BO}=\frac{BC}{BK}\)(4)

Từ (1) và (4) 

=> \(\frac{BK}{BI}=\frac{AB}{BO}\)

Xét tam giác IBO và tam giác KBA có:

\(\frac{BK}{BI}=\frac{AB}{BO}\)( chứng minh trên)

\(\widehat{IBO}=\widehat{KBA}\)( vì \(\widehat{IBK}=\widehat{OBA}=90^o\))

=> \(\Delta IBO~\Delta KBA\)

=> \(\widehat{A_1}=\widehat{O_1}\)

Gọi giao điểm của IO và AK là H

=> \(\widehat{BAH}=\widehat{BOH}\)

=> BAOH nội tiếp

=> \(\widehat{OHA}=\widehat{OBA}=90^o\)

( Nếu chua học nội tiếp em hãy xét hai tam giác đồng dạng)

=> IO vuông AK

\(a,\)\(\frac{\left(2-\sqrt{x}\right)^2-\left(\sqrt{x}+3\right)}{1+2\sqrt{x}}=\frac{4-4\sqrt{x}+x-\sqrt{x}-3}{1+2\sqrt{x}}.\)\(=\frac{x-5\sqrt{x}+1}{1+2\sqrt{x}}\)

\(b,\frac{\left(\sqrt{x}+1\right)\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)}{\left(x-y\right)\left(\sqrt{x^3+x}\right)}\)

\(=\frac{\left(\sqrt{x}+1\right)\sqrt{x}\left(x-y\right)}{\left(x-y\right)\sqrt{x}\left(\sqrt{x^2+1}\right)}=\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x^2+1}}\)

\(\frac{x+\sqrt{xy}}{\sqrt{x}-\sqrt{y}}=\frac{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)}{\sqrt{x}-\sqrt{y}}.\)

\(=\frac{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)}{\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)}\)

\(=\frac{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)^2}{x-y}\)

\(a,\sqrt{13+6\sqrt{4+\sqrt{9-4\sqrt{2}}}}\)

\(=\sqrt{13+6\sqrt{4+\sqrt{1-2.2\sqrt{2}+\left(2\sqrt{2}\right)^2}}}\)

\(=\sqrt{13+6\sqrt{4+\sqrt{\left(2\sqrt{2}-1\right)^2}}}\)

\(=\sqrt{13+6\sqrt{4+2\sqrt{2}-1}}\)

\(=\sqrt{13+6\sqrt{3+2\sqrt{2}}}\)

\(=\sqrt{13+6\sqrt{1+2\sqrt{2}+2}}\)

\(=\sqrt{13+6\sqrt{\left(1+\sqrt{2}\right)^2}}\)

\(=\sqrt{13+6\left(1+\sqrt{2}\right)}=\sqrt{13+6+\sqrt{12}}\)

\(=\sqrt{19+2\sqrt{3}}\)

a) = \(\sqrt{13+6\sqrt{4+\sqrt{9-4\sqrt{2}}}}\)

=    \(\sqrt{13+6\sqrt{4+\sqrt{8-2.2\sqrt{2}+1}}}\)

=    \(\sqrt{13+6\sqrt{4+\sqrt{\left(2\sqrt{2}-1\right)^2}}}\)

=    \(\sqrt{13+6\sqrt{4+2\sqrt{2}-1}}\)

=     \(\sqrt{13+6\sqrt{2+2\sqrt{2}+1}}\)

=     \(\sqrt{13+6\left(\sqrt{2}+1\right)}\)

=     \(\sqrt{13+6\sqrt{2}+6}=\sqrt{19+6\sqrt{2}}\)

=      \(\sqrt{18+2.3\sqrt{2}+1}\)

=     \(\sqrt{\left(3\sqrt{2}+1\right)^2}\)

=       \(3\sqrt{2}+1\)

<=>   \(3x^2+3x=2\sqrt{x^2+x}+1\)

<=>    Đặt   \(\sqrt{x^2+x}=a\) \(\left(a\ge0\right)\)ta có

    \(3a^2-2a-1=0\)

có a+b+c=0

=> a₁=1    => \(x^2+x=1\)

=> a₂=-1/3  => x²+x=-1/3

dùng công thức nghiệm tính nốt nha bn! :D

\(3\left(x+\sqrt{x-1}\right)\left(x-\sqrt{x-1}\right)=\left(x+\sqrt{x-1}\right)^2\)

=>\(\left(x+\sqrt{x-1}\right)\left(4x-4\sqrt{x-1}\right)=0\)

từ đay tự giải nốt