\(a^2\left(b+c\right)+b^2\left(c+a\right)+c^2\left(a+b\right)+2abc=0\)

=>\(\left(a+b\right)\left(a+c\right)\left(b+c\right)=0\)

=>a=-b hoặc a=-c hoặc b=-c (1)

=>a=1 hoăc b=1 hoặc c=1 (2)

từ 1 và 2 => Q=1

Đặt \(\hept{\begin{cases}2x=a\left(a>0\right)\\3y=b\left(b>0\right)\end{cases}}\)

\(\Rightarrow2x+3y=a+b\le2,x.y=\frac{ab}{6}\)

\(\Rightarrow P=\frac{4}{a^2+b^2}+\frac{9}{\frac{ab}{6}}=\frac{4}{a^2+b^2}\ne\frac{54}{ab}\)

Vì \(a>0,b>0\)

Nên áp dụng BĐT cô-si ta có:\(a+b\ge2\sqrt{ab}\)

Mà \(a+b\le2\Rightarrow2\sqrt{ab}\le2\Rightarrow\sqrt{ab}\le1\Rightarrow ab\le1\)

Áp dụng BĐT \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\)với x > 0 , y > 0 

\(\Rightarrow\frac{1}{a^2+b^2}+\frac{1}{2ab}\ge\frac{4}{a^2+b^2+2ab}=\frac{4}{\left(a+b\right)^2}\ge1\)

\(\Rightarrow\frac{4}{a^2+b^2}+\frac{4}{2ab}\ge4\)

\(\Rightarrow P=\frac{4}{a^2+b^2}+\frac{4}{2ab}+\frac{52}{ab}\)

\(P\ge4+52=56\)

\(\Rightarrow MinP=56\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=b\\a+b=2\\a.b=1\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{a=b=1\Leftrightarrow2x=3y=1\Leftrightarrow x=\frac{1}{2},y=\frac{1}{3}}\)

Ta có:  k là số tự nhiên khác 0 \(\Rightarrow1983^k\)không chia hết cho 5 (vì chia hết cho 5 thì số tận cùng phải là 0, hoặc 5)

                                              Mà \(10^5\)lại chia hết cho 5

Suy ra không tồn tại k thỏa mãn đề bài

\(\sqrt{24+8\sqrt{5}}+\) \(\sqrt{9-4\sqrt{5}}=\) \(\sqrt{\left(2\sqrt{5}\right)^2+2.2\sqrt{5}.2+4}\) + \(\sqrt{5-2\sqrt{5}.2+4}\)

= \(\sqrt{\left(2\sqrt{5}+2\right)^2}+\) \(\sqrt{\left(\sqrt{5}-2\right)^2}\) = \(2\sqrt{5}+2+\sqrt{5}-2=3\sqrt{5}\)

==================================================

\(\sqrt{\sqrt{5}-\sqrt{3-\sqrt{29-12\sqrt{5}}}}\) = \(\sqrt{\sqrt{5}-\sqrt{3-\left(2\sqrt{5}-3\right)}}\)= \(\sqrt{\sqrt{5}-\sqrt{6-2\sqrt{5}}}=\sqrt{\sqrt{5}-\sqrt{5}+1}=1\)

===========================================================

\(\sqrt{13+30\sqrt{2+\sqrt{9+4\sqrt{2}}}}=\sqrt{13+30\sqrt{2+2\sqrt{2}+1}}\)

= \(\sqrt{13+30\sqrt{3+2\sqrt{2}}}=\sqrt{13+30\left(\sqrt{2}+1\right)}=\sqrt{43+30\sqrt{2}}\) \(=\sqrt{\left(3\sqrt{2}+5\right)^2}=3\sqrt{2}+5\)

================================================================

1) \(x\ge\frac{1}{6}\) 

2.\(x\le0\)

3.\(4-5x\ge0\Leftrightarrow x\le\frac{4}{5}\) 

4.mọi x

Để \(\frac{x}{x-2}+\sqrt{x-2}\) có nghĩa thì điều kiện là:

\(\hept{\begin{cases}x-2\ne0\\x-2\ge0\end{cases}\Leftrightarrow}x-2>0\Leftrightarrow x>2\)

Để \(\frac{x}{x+2}+\sqrt{x-2}\) có nghĩa thì điều kiện là:

\(\hept{\begin{cases}x+2\ne0\\x-2\ge0\end{cases}\Leftrightarrow}\hept{\begin{cases}x\ne-2\\x\ge2\end{cases}\Leftrightarrow}x\ge2\)

Để \(\frac{x}{x^2-4}+\sqrt{x-2}\) có nghĩa thì điều kiện là:

\(\hept{\begin{cases}x-2\ge0\\x^2-4\ne0\end{cases}\Leftrightarrow}\hept{\begin{cases}x\ge2\\x\ne\pm2\end{cases}\Leftrightarrow x>2}\)

Để \(\sqrt{\frac{1}{3-2x}}\) có nghĩa thì điều kiện là:

\(\hept{\begin{cases}3-2x\ne0\\3-2x\ge0\end{cases}\Leftrightarrow}3-2x>0\Leftrightarrow2x< 3\Leftrightarrow x< \frac{3}{2}\)

Để \(\sqrt{\frac{4}{2x+3}}\) có nghĩa thì điều kiện là:

\(2x+3>0\Leftrightarrow2x>-3\Leftrightarrow x>-\frac{3}{2}\)

Để \(\sqrt{-\frac{2}{x+1}}\) có nghĩa thì điều kiện là:

\(\hept{\begin{cases}-\frac{2}{x+1}\ge0\\x+1\ne0\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x+1\le0\\x\ne-1\end{cases}\Leftrightarrow}x< -1\)