Ta có:\(x^2-4xy+6y^2+2x+4\)

\(=\left(x-2y\right)^2+\left(x+x+\frac{8}{x^2}\right)+\left(2y^2+\frac{2}{y^2}\right)\)

\(\ge0+6+4=10\)

\(\Rightarrow x^2-4xy+6y^2+2x\ge10-4=6\)

Dấu bằng xảy ra khi x=2 và y=1.

\(\sqrt{6-x}+\sqrt{x+2}=\sqrt{\left(1.\sqrt{6-x}+1.\sqrt{x+2}\right)^2}\) \(\le\left(1^2+1^2\right)\left(6-x+x+2\right)=2.8=16\)

bạn tìm điều kiện xác định r dùng bunhiacopxki là ra nhé 

cái hình thì mk gửi link trong ib nhé 

a) Gọi O là giao điểm của AC và BD 

\(\Delta OAB\) vuông tại O có \(OA^2+OB^2=AB^2=49\)

Lại có: \(\tan BAC=\tan OAB=\frac{OB}{OA}=\frac{3}{4}\)\(\Leftrightarrow\)\(\frac{OA^2}{16}=\frac{OB^2}{9}=\frac{OA^2+OB^2}{16+9}=\frac{49}{25}\)

\(\Rightarrow\)\(\hept{\begin{cases}\frac{OA}{4}=\frac{7}{5}\\\frac{OB}{3}=\frac{7}{5}\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}OA=\frac{28}{5}\left(cm\right)\\OB=\frac{21}{5}\left(cm\right)\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\)\(\hept{\begin{cases}AC=2OA=\frac{56}{5}\left(cm\right)\\BD=2OB=\frac{42}{5}\left(cm\right)\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\)\(S_{ABCD}=\frac{1}{2}AC.BD=\frac{1}{2}.\frac{56}{5}.\frac{42}{5}=\frac{1176}{25}=47,04\left(cm^2\right)\)

b) Gọi E, F lần lược là giao điểm của BD với MN và PQ 

tam giác ABD có MQ // BD 

\(\Rightarrow\)\(\frac{MQ}{BD}=\frac{MA}{AB}\) ( hệ quả định lí Talet ) 

tam giác OAD có QF // OA 

\(\Rightarrow\)\(\frac{QF}{OA}=\frac{DQ}{AQ}=\frac{MB}{AB}\) ( hệ quả định lí Talet ) 

\(\Rightarrow\)\(\frac{MQ}{BD}+\frac{QF}{OA}=\frac{MA+MB}{AB}=1\)

\(\Rightarrow\)\(1\ge2\sqrt{\frac{MQ.QF}{BD.OA}}\)\(\Leftrightarrow\)\(MQ.QF\le\frac{1}{4}BD.OA\)

Tương tự, ta cũng có: \(NP.PF\le\frac{1}{4}BD.OC\)

\(\Rightarrow\)\(MQ.QF+NP.PF=S_{MEFQ}+S_{NEFP}=S_{MNPQ}\le\frac{1}{4}BD.AC=\frac{1}{2}S_{ABCD}=23,52\left(cm^2\right)\)

Dấu "=" xảy ra khi M, N, P, Q là trung điểm của AB, BC, CD, DA 

Gọi BF,CE cắt nhau tại K và cắt AC,AB lần lượt tại S,T. Đường thẳng AH cắt MF,ME lần lượt tại P,Q.

Ta dễ thấy P là trực tâm của \(\Delta\)MAC, suy ra CP // EA (Cùng vuông góc AM). Tương tự BQ // FA

Áp dụng ĐL Melelaus và ĐL Thales ta có:

\(\frac{\overline{KB}}{\overline{KF}}.\frac{\overline{TA}}{\overline{TB}}.\frac{\overline{EF}}{\overline{EA}}=1\Rightarrow\frac{\overline{TA}}{\overline{TB}}=\frac{\overline{KF}}{\overline{KB}}.\frac{\overline{EA}}{\overline{EF}}=\frac{\overline{AF}}{\overline{QB}}.\frac{\overline{EA}}{\overline{EF}}\)

\(\frac{\overline{KC}}{\overline{KE}}.\frac{\overline{SA}}{\overline{SC}}.\frac{\overline{FE}}{\overline{FA}}=1\Rightarrow\frac{\overline{SC}}{\overline{SA}}=\frac{\overline{KC}}{\overline{KE}}.\frac{\overline{FE}}{\overline{FA}}=\frac{\overline{CP}}{\overline{EA}}.\frac{\overline{FE}}{\overline{FA}}\)

Suy ra \(\frac{\overline{TA}}{\overline{TB}}.\frac{\overline{HB}}{\overline{HC}}.\frac{\overline{SC}}{\overline{SA}}=\frac{\overline{CP}}{\overline{QB}}.\frac{\overline{HB}}{\overline{HC}}=-\frac{\overline{HC}}{\overline{HB}}.\frac{\overline{HB}}{\overline{HC}}=-1\)

Áp dụng điều kiện đủ của ĐL Ceva ta thu được AH,BS,CT đồng quy hay AH,BF,CE đồng quy (đpcm).

tạm thời chưa nghĩ ra cách dùng \(a^3+b^3\ge a^2b+ab^2=ab\left(a+b\right)\) :'< 

Có: \(\sqrt[3]{4\left(a^3+b^3\right)}=\sqrt[3]{2\left(a+b\right)\left(2a^2-2ab+2b^2\right)}\)

\(=\sqrt[3]{2\left(a+b\right)\left[\frac{1}{2}\left(a+b\right)^2+\frac{3}{2}\left(a-b\right)^2\right]}=\sqrt[3]{2\left(a+b\right)\frac{1}{2}\left(a+b\right)^2}=a+b\)

Tương tự cộng lại ta có đpcm 

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\)\(a=b=c\)

ư ư.. ra r :))))))))) cộng thêm Cauchy-Schwarz nữa nhé 

Có: \(a^3+b^3\ge a^2b+ab^2\)\(\Leftrightarrow\)\(2\left(a^3+b^3\right)\ge a^3+b^3+a^2b+ab^2=\left(a+b\right)\left(a^2+b^2\right)\)

\(\Rightarrow\)\(\sqrt[3]{4\left(a^3+b^3\right)}\ge\sqrt[3]{2\left(a+b\right)\left(a^2+b^2\right)}\ge\sqrt[3]{2\left(a+b\right).\frac{\left(a+b\right)^2}{2}}=a+b\)

Tương tự cộng lại ra đpcm 

Áp dụng bđt Svacxo có

\(\frac{a^2}{b+c-a}+\frac{b^2}{c+a-b}+\frac{c^2}{a+b-c}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{b+c-a+c+a-b+a+b-c}=a+b+c\)

Dấu "=" tại a =b = c

\(a,\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{6}}=\frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{6}}{\left(\sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{6}\right)\left(\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{6}\right)}=\frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{6}}{\left(\sqrt{2}+\sqrt{3}\right)^2-\sqrt{6}^2}\)

\(=\frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{6}}{2\sqrt{6}-1}=\frac{\left(\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{6}\right)\left(2\sqrt{6}+1\right)}{2\sqrt{6}^2-1^2}=\frac{4\sqrt{3}+6\sqrt{2}+12+\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{6}}{11}\)\(=\frac{\sqrt{6}+5\sqrt{3}+7\sqrt{2}+12}{11}\)

\(b,\frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}=\frac{\sqrt{x}+\sqrt{y}-\sqrt{z}}{\left(\sqrt{z}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\right)\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}-\sqrt{z}\right)}=\frac{\sqrt{x}+\sqrt{y}-\sqrt{z}}{\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)^2-\sqrt{z}^2}\)

\(=\frac{\sqrt{x}+\sqrt{y}-\sqrt{z}}{x+2\sqrt{xy}+y-z}\)

M đạt max khi \(\frac{1}{M}\) đạt min

\(\frac{1}{M}=1-\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}=\frac{1}{x^2}-\frac{1}{x}+\frac{1}{4}+\frac{3}{4}\)

\(\frac{1}{M}\ge\frac{3}{4}\Rightarrow M\le\frac{4}{3}\)

dấu = xảy ra khi x=1/2

bạn trả lời rõ hơn dc ko bạn