\(N=\frac{x^2+2000}{x}=x+\frac{2000}{x}\ge2\sqrt{x.\frac{2000}{x}}=2\sqrt{2000}=40\sqrt{5}\)

Dấu "=" tại \(x=20\sqrt{5}\)

\(Q=\frac{x^2+2x+17}{2\left(x+1\right)}=\frac{\left(x+1\right)^2+16}{2\left(x+1\right)}=\frac{x+1}{2}+\frac{8}{x+1}\ge2\sqrt{\frac{x+1}{2}.\frac{8}{x+1}}=4\)

Dấu "=" tại x = 3 

\(\sqrt{13+30\sqrt{2+\sqrt{9+4\sqrt{2}}}}=\sqrt{13+30\sqrt{2+\sqrt{\left(2\sqrt{2}+1\right)^2}}}\)

\(=\sqrt{13+30\sqrt{2+2\sqrt{2}+1}}=\sqrt{13+30\sqrt{\left(\sqrt{2}+1\right)^2}}\)

\(=\sqrt{13+30\left(\sqrt{2}+1\right)}=\sqrt{13+30\sqrt{2}+30}\)

\(=\sqrt{\left(5+3\sqrt{2}\right)^2}=5+3\sqrt{2}\)

#)Giải :

\(\sqrt{13+30\sqrt{2+\sqrt{9+4\sqrt{2}}}}=\sqrt{13+\sqrt{30\sqrt{2+\sqrt{8+2.2\sqrt{2+1}}}}}\)

\(=\sqrt{13+\sqrt{30\sqrt{2+\sqrt{\left(2\sqrt{2}+1\right)^2}}}}=\sqrt{13+\sqrt{30\sqrt{2+2\sqrt{2+1}}}}\)

\(=\sqrt{13+\sqrt{30\sqrt{\left(\sqrt{2}+1\right)^2}}}=\sqrt{13+\sqrt{30\left(\sqrt{2}+1\right)}}=\sqrt{13+\sqrt{30\sqrt{2}+30}}\)

mn ơi GIÚP E MAI E ĐI HỌC RỒI

\(a,\hept{\begin{cases}x^2+y^2+x+y=4\\x\left(x+y+1\right)+y\left(y+1\right)=2\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x^2+y^2+x+y=4\\x^2+xy+x+y^2+y=2\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x^2+y^2+x+y=4\\x^2+y^2+x+y+xy=2\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x^2+y^2+x+y=4\\xy=-2\end{cases}}\)(Trừ 2 pt cho nhau)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\left(x+y\right)^2+x+y-2xy=4\\xy=-2\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\left(x+y\right)^2+x+y+4=4\\xy=-2\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\left(x+y\right)\left(x+y+1\right)=0\\xy=-2\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x+y=0\\xy=-2\end{cases}\left(h\right)\hept{\begin{cases}x+y+1=0\\xy=-2\end{cases}}}\)

11 . CHO MIK NHA

\(\left(\sqrt{6}+\sqrt{5}\right)^2-\sqrt{120}\)

\(=\sqrt{6^2}+2\sqrt{5}\sqrt{6}+\sqrt{5^2}-2\sqrt{30}\)

\(=6+2\sqrt{30}+5-2\sqrt{30}\)

\(=11\)

\(\left(x-1\right)\left(x^2+2x-1\right)=0\)

\(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}x-1=0\\x^2+2x-3=0\end{cases}}\)      \(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}x=0+1=1\\x^2+2x=0+3=3\end{cases}}\)                      \(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}x=1\\x^2+2x=3\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}x=1\\x\left(x+2\right)=3\end{cases}}\)        \(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}x=1\\\end{cases}}\) hoặc x = - 3 , ( x + 2 ) = -1 hoặc x = 1 , ( x + 2 ) = 3[ Cái này viết tiếp trong ô đó nha ) 

\(\Rightarrow\text{ }x\in\left\{-3\text{ ; }1\right\}\)

TH1 x-1=0=>x=1

TH2 x²+2x-3=0=>x²+2x+1-4=0=>(x+1)²=4=>x=1;-3

Vậy x=1;-3

bất đẳng thức schur bậc 3,dễ mà,c/m cũng dễ nữa,tự tra đi.gợi ý này:giả sử a>b>c nhé

Thử cách của em xem:)

Do vai trò bình đẳng giữa a, b, c ta có thể giả sử \(a\ge b\ge c\).

BĐT \(\Leftrightarrow\left(\frac{b+c-a}{2}\right)\left(b-c\right)^2+\left(\frac{c+a-b}{2}\right)\left(c-a\right)^2+\left(\frac{a+b-c}{2}\right)\left(a-b\right)^2\ge0\)

Đặt \(\frac{b+c-a}{2}=S_a;\frac{c+a-b}{2}=S_b;\frac{a+b-c}{2}=S_c\) thì:

\(S_b;S_c\ge0\Rightarrow S_b+S_c\ge0\left(1\right)\).  và BĐT trở thành \(\Leftrightarrow S_a\left(b-c\right)^2+S_b\left(c-a\right)^2+S_c\left(a-b\right)^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow S_a\left(b-c\right)^2+S_b\left(b-c+a-b\right)^2+S_c\left(a-b\right)^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(S_a+S_b\right)\left(b-c\right)^2+\left(S_c+S_b\right)\left(a-b\right)^2+2S_b\left(b-c\right)\left(a-b\right)\ge0\)

Do \(a\ge b\ge c\)và S_b > 0 nên \(2S_b\left(b-c\right)\left(a-b\right)\ge0\). Theo (1) thì S_b + S_c > 0. Kết hợp với (*), ta cần chứng minh: 

\(\left(S_a+S_b\right)\left(b-c\right)^2\ge0\Leftrightarrow S_a+S_b\ge0\).

\(\Leftrightarrow\frac{b+c-a}{2}+\frac{c+a-b}{2}\ge0\Leftrightarrow c\ge0\) (luôn đúng)

Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c\text{hoặc }a=b;c=0\text{ và các hoán vị của nó.}\)

Sai thì em chịu nha!