Ta có: \(A=\left[\left(x+1\right)\left(x+7\right)\right]\left[\left(x+3\right)\left(x+5\right)\right]+2028\)

\(=\left(x^2+8x+7\right)\left(x^2+8x+15\right)+2028\)

Đặt: \(x^2+8x+12=t\) ta có: \(x^2+8x+7=t-5\) và \(x^2+8x+15=t+3\)

Ta có: \(A=\left(t+3\right)\left(t-5\right)+2028=t^2-2t+2013\)chia t dư 2013

Vậy A chia x² + 8x + 12 dư 2013

\(N=2013-\left(x^2+2xy+y^2\right)-\left(y^2-6x+9\right)\)

\(N=2013-\left(x+y\right)^2-\left(y-3\right)^2\le2013-0-0=2013\)

Dấu "=" xảy ra khi: \(\hept{\begin{cases}y-3=0\\x+y=0\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}y=3\\x+3=0\end{cases}}\Leftrightarrow x=-3;y=3\)

khó thế :Đ

Ta có: \(6n^2⋮6\); \(24⋮6\)(1)

Lại có:  \(n^3-19n=n^3-n-18n=n\left(n^2-1\right)-18n=\left(n-1\right)n\left(n+1\right)-18n\)

Vì \(\left(n-1\right)n\left(n+1\right)⋮3;\left(n-1\right)n\left(n+1\right)⋮2\)với ( 3; 2 ) = 1

=> \(\left(n-1\right)n\left(n+1\right)⋮6\)

và \(18n⋮6\)

=> \(n^3-19n=\left(n-1\right)n\left(n+1\right)-18n⋮6\)(2)

Từ (1); (2) => \(B⋮6\) 

\(\frac{1}{x-2}+3=\frac{x-3}{2-3}\)

\(\frac{1}{x-2}+3=\frac{x-3}{-1}\)

\(\frac{1}{x-2}+3=-x+3\)

\(\frac{1}{x-2}=-x\)

\(-x^2+2x=1\)

\(-x^2+2x-1=0\)

\(x^2-2x+1=0\)

\(\left(x-1\right)^2=0\)

\(x-1=0\Leftrightarrow x=1\)

a)     ( x + 1 )² - 9 =0

<=>x² +2.x+1 -9 = 0

<=>x² +4.x-2.x - 8 =0

<=> x. ( x+4 ) - 2.(x+4 ) =0

<=>(x + 4 ) . ( x -2 ) =0

<=> \(\orbr{\begin{cases}x-2=0\\x+4=0\end{cases}}\)

<=>\(\orbr{\begin{cases}x=2\\x=-4\end{cases}}\)

Nghiệm cuối là { -4;2}

b)  2.x² - 50.x = 0

<=>2.x . ( x - 25 ) =0

<=> x . ( x-25   = 0

<=> \(\orbr{\begin{cases}x=0\\x-25=0\end{cases}}\)

<=>\(\orbr{\begin{cases}x=0\\x=25\end{cases}}\)

Nghiệm cuối là : { 0;25}

1,

    4x²+2y²+4xy-4x-6y+2019

=4x²+(4xy-4x)+(y²-2y+1)+(y²-4y+4)+2014

=4x²+2.2x(y-1)+(y-1)+(y-2)²+2014

=(2x+y-1)²+(y-2)²+2014>=2014

vì (2x+y-1)² >=0 với mọi x,y

    (y-2)² >=0 với mọi y

dấu "=" xảy ra khi  y-2=0 suy ra y=2

                      và 2x+y-1=0 suy ra x=-1/2

vậy 4x⁴+2y²+4xy -4x-6y+2019 min =2014 khi và chỉ khi x=-1/2,y=2

2,

         ta có x²-6x+10=(x-3)²+1>=1

vì (x-3)²>=0 với mọi x

 => 1/x²-6x+10<=1(theo tính chất thì với a>=b thì 1/a<=1/b với a,b cùng dấu)

=> -3/x²-6x+10>=-3

 dấu "="xảy ra khi x-3=0 =>x=3

vậy -3/x²-6x+10 min=-3 <=>x=3