Đặt \(A=4+4^2+4^3+...+4^{2024}\)

=>\(4A=4^2+4^3+...+4^{2025}\)

=>\(4A-A=4^2+4^3+...+4^{2025}-4-4^2-...-4^{2024}\)

=>\(3A=4^{2025}-4\)

=>\(A=\dfrac{4^{2025}-4}{3}\)

\(4+4^1+4^2+...+4^{2024}\)

\(=4+\dfrac{4^{2025}-4}{3}=\dfrac{12+4^{2025}-4}{3}=\dfrac{4^{2025}+8}{3}\)

  A = 4 + 4¹ + 4² + 4³ + .. + 4²⁰²⁴

4A = 4² + 4² + 4³ + 4⁴ + ... + 4²⁰²⁵

4A - A = 4² + 4² + 4³ + 4⁴ + .. + 4²⁰²⁴ - 4 - 4¹ - 4² - ..- 4²⁰²⁴

3A = (4² - 4²) + (4³ - 4³) + .. + (4²⁰²⁴ - 4²⁰²⁴) + (4²⁰²⁵ + 4² - 4 - 4)

3A = 0  +0  +... +0 + 4²⁰²⁵ + 16 - 4 - 4

3A = 4²⁰²⁵ + (16 - 4 - 4)

3A = 4²⁰²⁵ + (12 - 4)

3A = 4²⁰²⁵ + 8

A = \(\dfrac{4^{2025}+8}{3}\) 

\(2^{x+2}\cdot2^x=2^{x+2+x}=2^{2x+2}\)

2\(^{x+2}\).2\(^x\) = 2\(^{x+2+x}\) = 2\(^{\left(x+x+2\right)}\) = 2\(^{2x+2}\)

       Đây là toán nâng cao chuyên đề tính nhanh tổng dãy số có quy luật cấu trúc thi chuyên, thi học sinh giỏi các cấp. Hôm nay, Olm sẽ hướng dẫn các em giải chi tiết dạng này bằng cách đưa về tổng quen thuộc như sau:           

                  Bài 1:

A = 2000 + 1900 - 1800 + 1700 + 1600 - 1500 +..+ 500 + 400 - 300

Xét dãy số: 300; 400; 500; 600;..; 1800; 1900 

Dãy số trên là dãy số cách đều với khoảng cách là: 

       400 - 300 = 100

Số số hạng của tổng A là: (2000 - 300) : 100 + 1 = 18 (số)

Vì 18 : 3 = 6, nên ta nhóm ba số hạng liên tiếp của A vào thì A khi đó:

A = (2000 + 1900 - 1800)+(1700 + 1600 - 1500)+ .. +(500 + 400- 300)

A = 2100 + 1800 + 1500 + ... + 600

A = 600 + ... + 1500 + 1800 + 2100

Xét dãy số: 600; ...1500; 1800; 2100

Dãy số trên là dãy số cách đều với khoảng cách là: 2100 - 800 = 300

Số số hạng của dãy số trên là: (2100 - 600) : 300 + 1 = 6

Tổng của dãy số trên là:

A = (2100 + 600) x 6 : 2 = 8100 

2: Số số hạng của dãy là:

\(\left(2025-100\right):25+1=1925:25+1=78\left(số\right)\)

2025-2000+1975-1950+...+125-100

=(2025-2000)+(1975-1950)+...+(125-100)

=25+25+...+25

\(=25\cdot39=975\)

2\(^x\) + 2\(^x\)⁺³ = 72

2\(^x\) + 2\(^x\).2³ = 72

2\(^x\).(1 + 2³) = 72

2\(^x\).(1+ 8) = 72

2\(^x\).9 = 72

2\(^x\)    = 72 : 9

2\(^x\)   = 8

2\(^x\) = 2³

  \(x=3\)

Vậy \(x=3\)

1: \(\left(-56\right)+74+\left(-14\right)+56\)

=(-56+56)+(74-14)

=0+60

=60

2: \(\left(-12\right)+89+\left(-28\right)=89-\left(12+28\right)\)

=89-40

=49

3: \(\left(-5\right)+\left(-75\right)+100+\left(-20\right)\)

=-80-20+100

=-100+100=0

4: \(\left(-27\right)+\left(-208\right)+\left(-43\right)+\left(-102\right)\)

\(=\left(-27-43\right)+\left(-208-102\right)\)

=-70-310

=-380

5: \(\left(-105\right)\cdot19+\left(-76\right)\cdot105-5\cdot105\)

\(=\left(-105\right)\left(19+76+5\right)\)

\(=-105\cdot100=-10500\)

6: \(140+4\cdot119-4\cdot19\)

\(=140+4\cdot\left(119-19\right)\)

\(=140+4\cdot100=140+400=540\)

7: \(\left(2022-129+537\right)-\left(-129+637\right)\)

=2022-129+537+129-637

=2022-100

=1922

8: \(\left(2022-3015\right)-\left(85-2022\right)-\left(-500\right)\)

=2022-3015-85+2022+500

=4044-3100+500

=4044-2600

=1444

9: \(2814:14-\left(23\cdot52-156\right)\cdot2\)

\(=201-52\left(23-3\right)\cdot2\)

\(=201-52\cdot20\cdot2=201-52\cdot40=-1879\)

10: \(\left[516-\left(25\cdot4+16\right)\right]:8-68\)

\(=\left[516-100-16\right]:8-68\)

\(=400:8-68=50-68=-18\)

11: \(5\cdot32+60:2^2-\left(11-6\right)^2\)

\(=160+60:4-5^2\)

=160+15-25

=160-10

=150

12: \(160-10\cdot\left[128-\left(12-3\right)^2\right]-2021^0\)

\(=160-10\cdot\left(128-9^2\right)-1\)

\(=159-10\cdot\left(128-81\right)=159-10\cdot47\)

=159-470

=-311

13: \(5\cdot6^2+240:4^2-3\left(17-12\right)^2\)

\(=5\cdot36+240:16-3\cdot5^2\)

=180+15-75

=180-60

=120

14: 1-2+3-4+...+99-100

=(1-2)+(3-4)+...+(99-100)

=(-1)+(-1)+...+(-1)

=-50

Diện tích bức tường là \(15\cdot4=60\left(m^2\right)\)

Diện tích hai cửa sổ hình chữ nhật là:

\(1,8\cdot1,5\cdot2=1,8\cdot3=5,4\left(m^2\right)\)

Diện tích cửa chớp hình vuông là \(0,5^2=0,25\left(m^2\right)\)

Diện tích cần sơn là:

\(60-5,4-0,25=54,35\left(m^2\right)\)

Số tiền cần phải trả là:

\(54,35\cdot50000=2717500\left(đồng\right)\)

Diện tích bức tường là \(15\cdot4=60\left(m^2\right)\)

Diện tích hai cửa sổ hình chữ nhật là:

\(1,8\cdot1,5\cdot2=1,8\cdot3=5,4\left(m^2\right)\)

Diện tích cửa chớp hình vuông là \(0,5^2=0,25\left(m^2\right)\)

Diện tích cần sơn là:

\(60-5,4-0,25=54,35\left(m^2\right)\)

Số tiền cần phải trả là:

\(54,35\cdot50000=2717500\left(đồng\right)\)

Độ dài đường gấp khúc ABC là 14cm

=>AB+BC=14

mà AB=CD

nên BC+CD=14

Độ dài đường gấp khúc DABC là 20cm

=>DA+AB+BC=20

=>DA+CD+BC=20

=>DA=20-14=6(cm)

mà DA=BC

nên BC=6cm

CD=14-BC=14-6=8(cm)

\(6=2\cdot3;4=2^2\)

=>\(BCNN\left(6;4\right)=2^2\cdot3=12\)

Gọi số quyển sách là x(quyển)

(Điều kiện: \(x\in Z^+\))

Số quyển sách khi xếp thành mỗi bó 6 quyển hoặc 4 quyển thì vừa đủ nên \(x\in BC\left(6;4\right)\)

=>\(x\in B\left(12\right)\)

mà 35<=x<=40

nên x=36(nhận)

Vậy: Số quyển sách là 36 quyển