\(\left(a+b\right)^2\le2\left(a^2+b^2\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2-2\left(a^2+b^2\right)\le0\)

\(\Leftrightarrow a^2+2ab+b^2-2a^2-2b^2\le0\)

\(\Leftrightarrow-a^2+2ab-b^2\le0\)

\(\Leftrightarrow-\left(a-b\right)^2\le0\) ( dấu "=" xảy ra ⇔ a=b )

1) Hoành độ giao điểm là nghiệm của phương trình : 

$x^2 = x + 2 ⇔ x^2 - x - 2 = 0 ⇔ x = 2$ hoặc $x = 1$

Với $x = 1, y = 1^2 = 1$ ; $x = 2, y = 2^2 = 4$

Vậy tọa độ giao điểm của $(P)$ và $(d)$ là hai điểm có tọa độ $(1;1$ và $(2;4)$

2)

\(\left\{{}\begin{matrix}m^2x+my=2m^2\\x+my=m+1\end{matrix}\right.\)⇔ \(\left\{{}\begin{matrix}\left(m^2-1\right)x=2m^2-m-1\\y=-mx+2m\end{matrix}\right.\)

Để hệ phương trình có nghiệm duy nhất thì $m^2 - 1 ≠ 0 ⇔ m ≠ 1$ và $m ≠ -1$

Suy ra : 

$x = \dfrac{2m^2 - m - 1}{m^2 - 1} = \dfrac{2m+1}{m+1} = 2 - \dfrac{1}{m+1}$

Do x nhận giá trị nguyên nên $(m+1) ∈ Ư(1) = {1,-1}$

Suy ra : m = 0 hoặc m = -2

Gọi số sản phẩm tổ một và tổ 2 làm được lần lượt là \(a,b\left(a,b\inℕ^∗\right)\)

Ta có:

\(a+10\%a+b+20\%b=685\)

\(\Rightarrow\left(a+b\right)+10\%a+20\%b=685\)

\(\Rightarrow600+10\%a+10\%b+10\%b=685\)

\(\Rightarrow10\%a+10\%b+10\%b=85\)

\(\Rightarrow10\%\left(a+b\right)+10\%b=85\)

\(\Rightarrow10\%\cdot600+10\%b=85\)

\(\Rightarrow60+10\%b=85\)

\(\Rightarrow10\%b=25\)

\(\Rightarrow b=250\)

\(\Rightarrow a=\left(a+b\right)-b=600-250=350\)

Vậy trong tháng đầu, tổ một làm được 350 sản phẩm, tổ hai làm được 250 sản phẩm.

ĐKXĐ \(x\ge0;x\ne4\)

1. Với x = 25 : 

\(A=\dfrac{\sqrt{25}+1}{25-4}=\dfrac{2}{7}\)

2. \(B=\dfrac{18-\sqrt{x}}{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x+2}\right)}+\dfrac{4\left(\sqrt{x}+2\right)}{\left(2-\sqrt{x}\right)\left(\sqrt{x+2}\right)}+\dfrac{\left(\sqrt{x}+3\right)\left(\sqrt{x}-2\right)}{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}+2\right)}\)

\(=\dfrac{18-\sqrt{x}-4\left(\sqrt{x}+2\right)+\left(\sqrt{x}+3\right)\left(\sqrt{x}-2\right)}{\left(\sqrt{x}+2\right)\left(\sqrt{x}-2\right)}\)

\(=\dfrac{x-4\sqrt{x}+4}{\left(\sqrt{x}+2\right)\left(\sqrt{x}-2\right)}=\dfrac{\left(\sqrt{x}-2\right)^2}{\left(\sqrt{x}+2\right)\left(\sqrt{x}-2\right)}=\dfrac{\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}+2}\)

3.\(P=A.B=\dfrac{\sqrt{x}+1}{x-4}.\dfrac{\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}+2}=\dfrac{\sqrt{x}+1}{\left(\sqrt{x}+2\right)^2}\)

<=> 4P = \(\dfrac{4\sqrt{x}+4}{\left(\sqrt{x}+2\right)^2}=\dfrac{x+4\sqrt{x}+4-x}{\left(\sqrt{x}+2\right)^2}=1-\dfrac{x}{\left(\sqrt{x}+2\right)^2}\le1\)(Do \(x\ge0\))

<=> \(P\le\dfrac{1}{4}\)("Dấu "=" xảy ra <=> x = 0)  

\(5\sqrt{x^5+x^3+x^2+1}=2\sqrt{x^6+5x^4+8x^2+4}\) \(\left(x\ge-1\right)\)

\(5\sqrt{\left(x^3+1\right)\left(x^2+1\right)}=2\sqrt{\left(x^4+4x^2+4\right)\left(x^2+1\right)}\)  

\(5\sqrt{\left(x+1\right)\left(x^2-x+1\right)}=2\left(x^2+2\right)\) \(\left\{{}\begin{matrix}x^2+1>0\\x^2+2>0\end{matrix}\right.\)

\(5\sqrt{\left(x+1\right)\left(x^2-x+1\right)}=2\left(x+1+x^2-x+1\right)\)

Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{x+1}=a\ge0\\\sqrt{x^2-x+1}=b>0\end{matrix}\right.\)

\(pt\Leftrightarrow2\left(a^2+b^2\right)=5ab\)

     \(\Leftrightarrow\left(2a-b\right)\left(a-2b\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}2a=b\\a=2b\end{matrix}\right.\)

Đến thay a,b vào bình phương xong dùng delta thoi :)