(2n + 3) ⋮ (n  - 2)

[2(n - 2) + 7] ⋮ (n - 2)

                 7 ⋮ (n  -2)

(n - 2) \(\in\) Ư(7) = {-7; -1; 1; 7}

n \(\in\) {- 5; 1; 3; 9}

Vậy n \(\in\) {- 5; 1; 3; 9} 

A = 2 + 2² + ...+ 2²⁰⁰⁴

Xét dãy số: 1; 2; ....; 2004

Dãy số trên là dãy số cách đều với khoảng cách là: 2 - 1 = 1

Số số hạng của dãy số trên là: (2004 - 1) : 1 + 1 = 2004 (số)

Vì 2004 : 3  = 668

Vậy nhóm 4 số hạng liên tiếp của A vào nhau ta được 

A = (2  + 2² + 2³) + (2⁴ + 2⁵ + 2⁶) + ... + (2²⁰⁰² + 2²⁰⁰³ + 2²⁰⁰⁴)

A = 2.(1  + 2 + 2²) + 2⁴.(1 + 2  + 2²)+...+ 2²⁰⁰².(1 + 2 + 2²)

A = (1  + 2 + 2²).(2 + 2⁴ + ...+ 2²⁰⁰²)

A = 7.(2 + 2⁴ + ...+ 2²⁰⁰²) ⋮ 7

6,528

Số 5

   (-2) + 5 + (-6) + 9

= - (2 + 6) + (5 + 9)

= - 8  + 14

= -6 

A = \(\dfrac{2}{1.3}\) + \(\dfrac{2}{3.5}\) + ... + \(\dfrac{2}{9.11}\)

A = \(\dfrac{1}{1}-\dfrac{1}{3}\) + \(\dfrac{1}{3}\) - \(\dfrac{1}{5}\) + ... + \(\dfrac{1}{9}\) - \(\dfrac{1}{11}\)

A =   \(\dfrac{1}{1}\) - \(\dfrac{1}{11}\) 

A = \(\dfrac{10}{11}\)

Để giải phép tính A=21⋅3+23⋅5+25⋅7+⋯+29⋅11A = \frac{2}{1 \cdot 3} + \frac{2}{3 \cdot 5} + \frac{2}{5 \cdot 7} + \cdots + \frac{2}{9 \cdot 11} dưới dạng siêu phức tạp, ta sẽ thực hiện các bước trung gian phức tạp và giải thích chi tiết từng phần của phép toán.

Ta có tổng sau:

A=21⋅3+23⋅5+25⋅7+⋯+29⋅11A = \frac{2}{1 \cdot 3} + \frac{2}{3 \cdot 5} + \frac{2}{5 \cdot 7} + \cdots + \frac{2}{9 \cdot 11}

Mỗi phần tử trong tổng là một phân số có mẫu số là tích của hai số lẻ liên tiếp. Tổng quát, ta có thể viết mỗi phần tử theo dạng:

2(2n−1)(2n+1)vớin=1,2,3,…,5.\frac{2}{(2n-1)(2n+1)} \quad \text{với} \quad n = 1, 2, 3, \dots, 5.

Vậy tổng có thể viết lại là:

A=∑n=152(2n−1)(2n+1)A = \sum_{n=1}^{5} \frac{2}{(2n-1)(2n+1)}

Ta sẽ đơn giản hóa từng phân số trong tổng. Dễ dàng nhận thấy rằng mỗi phân số có thể rút gọn bằng cách sử dụng phép phân tích thành phần phân số (phương pháp phân tích phân số thành phần nhỏ hơn).

2(2n−1)(2n+1)=A2n−1+B2n+1\frac{2}{(2n-1)(2n+1)} = \frac{A}{2n-1} + \frac{B}{2n+1}

Với mục đích tìm AA và BB, ta giải phương trình sau:

2(2n−1)(2n+1)=A2n−1+B2n+1\frac{2}{(2n-1)(2n+1)} = \frac{A}{2n-1} + \frac{B}{2n+1}

Nhân cả hai vế với (2n−1)(2n+1)(2n-1)(2n+1):

2=A(2n+1)+B(2n−1)2 = A(2n+1) + B(2n-1)

Mở rộng các biểu thức:

2=A(2n)+A+B(2n)−B2 = A(2n) + A + B(2n) - B

Nhóm các hạng tử theo nn:

2=(2n)(A+B)+(A−B)2 = (2n)(A + B) + (A - B)

Vì phương trình này phải đúng với mọi giá trị của nn, ta có hệ phương trình:

A+B=0A + B = 0 A−B=2A - B = 2

Giải hệ này:

A=1vaˋB=−1A = 1 \quad \text{và} \quad B = -1

Vậy ta có:

2(2n−1)(2n+1)=12n−1−12n+1\frac{2}{(2n-1)(2n+1)} = \frac{1}{2n-1} - \frac{1}{2n+1}

Ta thay vào biểu thức tổng ban đầu:

A=∑n=15(12n−1−12n+1)A = \sum_{n=1}^{5} \left( \frac{1}{2n-1} - \frac{1}{2n+1} \right)

Viết cụ thể từng phần tử:

A=(11−13)+(13−15)+(15−17)+(17−19)+(19−111)A = \left( \frac{1}{1} - \frac{1}{3} \right) + \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{5} \right) + \left( \frac{1}{5} - \frac{1}{7} \right) + \left( \frac{1}{7} - \frac{1}{9} \right) + \left( \frac{1}{9} - \frac{1}{11} \right)

Quan sát rằng tổng này là một chuỗi lũy tiến mà trong đó các hạng tử sẽ hủy bỏ lẫn nhau. Cụ thể:

A=1−111A = 1 - \frac{1}{11}

Vậy:

A=1111−111=1011A = \frac{11}{11} - \frac{1}{11} = \frac{10}{11}

Do đó, kết quả của phép tính AA là:

A=1011A = \frac{10}{11}

           (2n - 1) ⋮ (6 - n)

[-2(6 - n) + 11] ⋮ (6 - n)

                  11 ⋮ (6 - n)

  (6 - n) \(\in\) Ư(11) = {-11; -1; 1; 11}

Theo bảng trên ta có: n \(\in\) { 17; 7; 5; -5}

Vậy n \(\in\) {17; 7; 5; -5}

(2n - 1) ⋮ (6 - n) (1)

Ta có:

(6 - n) ⋮ (6 - n)

=> 2. (6 - n) ⋮ (6 - n)

=> (12 - 2n) ⋮ (6 - n) (2)

Từ (1) và (2)

=> (2n - 1) + (12 - 2n) ⋮ (6 - n)

=> 2n - 1 + 12 - 2n ⋮ (6 - n)

=> 11 ⋮ (6 - n)

=> (6 - n) ϵ Ư (11) = {1; 11; -1; -11}

Ta có bảng sau:

Vậy n ϵ {5; -5; 7; 17}

2\(xy\) + \(x+2y\) = 4

(2\(xy\) + 2y) + (\(x\) + 1) =5

2y(\(x+1\)) + (\(x+1\))  =5

  (\(x+1\))(2y + 1) = 5

5 = 5; Ư(5)  = {-5; -1; 1; 5}

lập bảng ta có:

Theo bảng trên ta có (\(x;y\))  =(-6; -1); (-2; -3); (0; 2); (4; 0)

Vậy các cặp \(x;y\) nguyên thỏa mãn đề bài là: (-6; -1);(-2; -3); (0; 2); (4; 0)

cứu tuii ii mn :<

   \(x^3\) + 3\(x^2\)y + 3\(xy^2\) + y³ - \(x-y\)

= (\(x^3\) + 3\(x^2\)y + 3\(xy^2\) + y³) - (\(x+y\))

= (\(x+y\))³ - (\(x+y\))

= (\(x+y\))[(\(x+y\))² - 1]

= (\(x+y\))[\(x+y-1\)][\(x+y+1\)]

  \(\dfrac{8}{5}\).\(\dfrac{6}{19}\) + \(\dfrac{13}{19}\).\(\dfrac{16}{19}\) + \(\dfrac{2}{5}\)

= \(\dfrac{6}{19}\).(\(\dfrac{8}{5}\) + \(\dfrac{13}{19}\)) + \(\dfrac{2}{5}\)

= \(\dfrac{6}{19}\).\(\dfrac{217}{95}\) + \(\dfrac{2}{5}\)

= \(\dfrac{19520}{1805}\) + \(\dfrac{2}{5}\)

= \(\dfrac{2674}{1805}\)

(2n  - 3)⋮ (n  +1) ( -1 ≠ n; n \(\in\) Z)

[2(n  + 1) - 5] ⋮ (n + 1)

                 5 ⋮ (n  + 1)

   (n + 1) \(\in\) Ư(5) = {-5; -1; 1; 5}

Lập bảng ta có: 

Theo bảng trên ta có n \(\in\) {-6; -2; 0; 4}

Vậy n \(\in\) {-6; -2; 0; 4} 

 ta có :2n-3 ⋮ n+1

    suy ra : 2(n+1)-5 ⋮ n+1 | giải thích :2n-3=2(n+1)-5=2n+2-5→2-5=-3

       mà n+1 ⋮ n+1

        nên  2.n+1 ⋮ n+1

       suy ra : -5 ⋮ n+1

        do đó : n+1 ϵ ư(-5)={-1;1;-5;5}

          ...