căn 2-X + căn 1+ X 

căn 2-X > 0 với mọi X

căn 1 +X > 0 với mọi X

căn 2-X + căn 1+ X > 0 với mọi X

=> A max > 0 khi căn 2- X > 0

                            căn 1+  X > 0

=> A mx là số bất kì với mọi  X

Nếu đề đúng:

Sử dụng liên hợp để trục căn thức ở mẫu:

\(\frac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}-1}{\left(\sqrt{5}+1\right)\left(\sqrt{5}-1\right)}=\frac{\sqrt{5}-1}{5-1}=\frac{\sqrt{5}-1}{4}\) 

Tương tự như vậy ta sẽ có:

\(N=\frac{\sqrt{5}-1}{\left(\sqrt{5}-1\right)\left(\sqrt{5}+1\right)}+\frac{\sqrt{13}-\sqrt{9}}{\left(\sqrt{13}-\sqrt{9}\right)\left(\sqrt{13}+\sqrt{9}\right)}+\frac{\sqrt{17}-\sqrt{13}}{\left(\sqrt{17}-\sqrt{13}\right)\left(\sqrt{17}+\sqrt{13}\right)}\)

\(+\frac{\sqrt{21}-\sqrt{17}}{\left(\sqrt{21}-\sqrt{17}\right)\left(\sqrt{21}+\sqrt{17}\right)}+\frac{\sqrt{25}-\sqrt{23}}{\left(\sqrt{25}-\sqrt{23}\right)\left(\sqrt{25}+\sqrt{23}\right)}\)

\(=\frac{\sqrt{5}-1}{4}+\frac{\sqrt{13}-\sqrt{9}}{4}+\frac{\sqrt{17}-\sqrt{13}}{4}+\frac{\sqrt{21}-\sqrt{17}}{4}+\frac{\sqrt{25}-\sqrt{23}}{4}\)

\(=\frac{\sqrt{5}-1+\sqrt{13}-\sqrt{9}+\sqrt{17}-\sqrt{13}+\sqrt{21}-\sqrt{17}+\sqrt{25}-\sqrt{23}}{4}\)

\(=\frac{\sqrt{5}-1-\sqrt{9}+\sqrt{21}+\sqrt{25}-\sqrt{23}}{4}=\frac{\sqrt{5}-1-3+\sqrt{21}+5-\sqrt{23}}{4}=\frac{1+\sqrt{5}+\sqrt{21}-\sqrt{23}}{4}\)

Trước  hết, ta c/m \(x^2y\left[4-\left(x+y\right)\right]\ge-64\)

Thật vậy: \(VT\ge-2x^2y=-\left(x.x.2y\right)\ge-\frac{\left(x+x+2y\right)^3}{27}\) (lưu ý cái dấu - phía trước nhá)

\(=-\frac{\left(2\left(x+y\right)\right)^3}{27}=-64\).

Đẳng thức xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}x=2y\\x+y=6\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=4\\y=2\end{cases}}\)

Tiếp theo, chứng minh \(x^2y\left(4-x-y\right)\le4\)

Áp dụng BĐT \(ab\le\frac{\left(a+b\right)^2}{4}\)với chú ý bđt này đúng với mọi a, b là các số thực. Đẳng thức xảy ra khi a = b.

Ta có: \(x^2\left[y\left(4-x-y\right)\right]\le\frac{x^2\left(y+4-x-y\right)^2}{4}\)

\(=\frac{x^2\left(4-x\right)^2}{4}=\left[\frac{x\left(4-x\right)}{2}\right]^2\). Áp dụng BĐT trên một lần nữa:

\(\le\left[\frac{\frac{\left(x+4-x\right)^2}{4}}{2}\right]^2=4\)

Đẳng thức xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}x=2\\y=1\end{cases}}\) (tự giải rõ ra)

Hoàn tất chứng minh!

Ta co:

\(\sqrt{2\left(b+1\right)}\le\frac{b+3}{2}\Rightarrow\frac{a}{\sqrt{2\left(b+1\right)}}\ge\frac{2a}{b+3}\)

Tuong tu:\(\frac{b}{\sqrt{2\left(c+1\right)}}\ge\frac{2b}{c+3};\frac{c}{\sqrt{2\left(a+1\right)}}\ge\frac{2c}{a+3}\)

\(\Rightarrow\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\frac{a}{\sqrt{b+1}}+\frac{b}{\sqrt{c+1}}+\frac{c}{\sqrt{a+1}}\right)\ge2\left(\frac{a}{b+3}+\frac{b}{c+3}+\frac{c}{a+3}\right)\)

\(\frac{a}{b+3}+\frac{b}{c+3}+\frac{c}{a+3}\)

\(=\frac{a^2}{ab+3a}+\frac{b^2}{bc+3b}+\frac{c^2}{ca+3c}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{ab+bc+ca+9}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}+9}=\frac{9}{\frac{9}{3}+9}=\frac{3}{4}\)

\(\Rightarrow2\left(\frac{a}{b+3}+\frac{b}{c+3}+\frac{c}{a+3}\right)\ge\frac{3}{2}\)

Hay \(\frac{a}{\sqrt{b+1}}+\frac{b}{\sqrt{c+1}}+\frac{c}{\sqrt{a+1}}\ge\frac{3\sqrt{2}}{2}\)

Dau '=' xay ra  khi \(a=b=c=3\)