Ta sẽ chứng minh: \(ab\left(a-b\right)^2\le\frac{\left(a+b\right)^4}{16}\)

\(\Leftrightarrow\left(a^2-6ab+b^2\right)^2\ge0\)(đúng)

Vậy ta có đpcm. Đẳng thức xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}a^2-6ab+b^2=0\\a+b=2\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a^2-6ab+b^2=0\\a^2+2ab+b^2=4\end{cases}}\Rightarrow ab=\frac{1}{2}\)

Từ đây ta có: \(\hept{\begin{cases}a+b=2\\ab=\frac{1}{2}\end{cases}}\). Theo hệ thức viet đảo, a, b là hai nghiệm của pt: \(t^2-2t+\frac{1}{2}=0\Leftrightarrow t=\frac{2+\sqrt{2}}{2}\text{hoặc }t=\frac{2-\sqrt{2}}{2}\)

Suy ra \(\left(a;b\right)=\left(\frac{2+\sqrt{2}}{2};\frac{2-\sqrt{2}}{2}\right)\) và các hoán vị của nó

P/s: Em ko chắc chỗ xét dấu đẳng thức đâu nhé!

2x+1 là số lẻ nên để 2x+1 là số chính phương thì số đó có dạng (2k+1)² (với k\(\in Z\))

2x+1= (2k+1)² (k\(\in Z\)) <=> x = 2k(k+1) (k\(\in Z\))

M nguyên <=>\(\sqrt{x}+1\ge1\)là ước của 5 hay  \(\sqrt{x}+1=5;\sqrt{x}+1=1;\)

<=> x= 16; x= 0

để phương trình có 2 nghiệm phân biệt thì \(\Delta=\left(3m+2\right)^2-4m^2>0< =>5m^2+12m+4>0\)(1)

x₁+x₂ = 4x₂ = \(\frac{-b}{a}=3m+2\)<=> x₂ = \(\frac{3m+2}{4}\)

x₁x₂= 4x₂² = \(\frac{c}{a}=m^2\)<=> 4.\(\left(\frac{3m+2}{4}\right)^2=m^2< =>9m^2+12m+4=4m^2\)<=> \(5m^2+12m+4=0\) so sánh với điều kiện (1) thì không có m thỏa mãn

Vậy k tồn tại m thỏa mãn đề bài

<=> (x-4)(x-3) = \(\sqrt{3}\)(y+1) 

Nếu y là số nguyên khác -1 thì y+1 là số nguyên; \(\sqrt{3}\)là số vô tỉ nên \(\sqrt{3}\left(y+1\right)\)là số vô tỉ

mà x-4 và x-3 đều là số nguyên nên (x-3)(x-4) là số nguyên => vô lý

vậy y = -1 => (x-4)(x-3)=0 <=> x=4 hoặc x= 3

vậy có 2 nghiêm thỏa mãn (x;y) = (4;-1); (x;y) = (3;-1)

\(\frac{a}{a+1}+\frac{b}{b+1}+\frac{c}{c+1}=\text{a}-\frac{a^2}{a+1}+b-\frac{b^2}{b+1}+c-\frac{c^2}{c+1}\)

\(=1-\left(\frac{a^2}{a+1}+\frac{b^2}{b+1}+\frac{c^2}{c+1}\right)\)

Áp dụng BĐT Cauchy dạng phân thức :
\(\frac{a^2}{a+1}+\frac{b^2}{b+1}+\frac{c^2}{c+1}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{a+b+c+3}=\frac{1}{1+3}=\frac{1}{4}\)

\(\Rightarrow1-\left(\frac{a^2}{a+1}+\frac{b^2}{b+1}+\frac{c^2}{c+1}\right)\le1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}\)

\(\Rightarrow GTLN=\frac{3}{4}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)

Chúc bạn học tốt !!!