max=căn 66

áp dụng bất đẳng thức cô si là ra 

tích cho nha

Áp dụng bđt côsi ta có: 

\(\hept{\begin{cases}\sqrt{\left(x+y\right)4}\le\frac{x+y+4}{2}\left(1\right)\\\sqrt{\left(z+y\right)4}\le\frac{y+z+4}{2}\left(2\right)\\\sqrt{\left(z+x\right)4}\le\frac{z+x+4}{2}\left(3\right)\end{cases}}\)

Lấy \(\left(1\right)+\left(2\right)+\left(3\right)\)ta được:

\(2P\le x+y+z+6=12\)

\(\Leftrightarrow p\le6\)

Dấu"="xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=z=2\)

Vậy \(P_{max}=6\)\(\Leftrightarrow x=y=z=2\)

x thuộc j hả bạn

Ta có: \(2\left(a^3+b^3+c^3\right)=2a^3+2b^3+2c^3\)

\(=\left(a+b\right)\left(a^2+ab+b^2\right)+\left(b+c\right)\left(b^2+bc+c^2\right)+\left(a+c\right)\left(a^2+ac+c^2\right)\)(1)

Mặt khác:

\(a^2b+ab^2+b^2c+bc^2+c^2a+ca^2\)

\(=ab\left(a+b\right)+bc\left(b+c\right)+ca\left(c+a\right)\)(2)

Vì \(\hept{\begin{cases}a^2+ab+b^2\ge ab\\b^2+bc+c^2\ge bc\\a^2+ac+c^2\ge ac\end{cases}}\) 

\(\Rightarrowđpcm\)

mk có cách khác 

Các bn góp ý xem mk làm đúng chưa nha

Xét Tổng

 \(A=2a^3+2b^3+2c^3+ab^2+bc^2+ca^2+a^2b+b^2c+c^2a\)

Áp dụng BDT Cô-si cho 2 số ko âm ta có

\(a^3+ab^2\ge2a^2b,a^3+c^2a\ge2ca^2\)

\(b^3+bc^2\ge2b^2c,b^3+a^2b\ge2ab^2\)

\(c^3+ca^2\ge2c^2a,c^3+b^2c\ge2bc^2\)

Cộng từng vế các BĐT trên ta có 

\(A\ge2\left(a^2b+ab^2+b^2c+bc^2+c^2a+ca^2\right)\)

=> ĐPCM

dk \(x\ge0;2x+1\ge0< =>x\ge0\)

2(x+1)\(\sqrt{x}+\sqrt{3\left(x+1\right)^2\left(2x+1\right)}=\left(x+1\right)\left(5x^2-8x+8\right)< =>\)

\(2\sqrt{x}+\sqrt{3\left(2x+1\right)}=5x^2-8x+8\)(x+1>0 với x\(\ge0\)) <=>

2\(\sqrt{x}-2+\sqrt{6x+3}-3=5x^2-8x+3\) <=>\(\frac{2\left(x-1\right)}{\sqrt{x}+1}+\frac{6\left(x-1\right)}{\sqrt{6x+3}+3}=\left(x-1\right)\left(5x-3\right)< =>\)x-1=0 <=>x= 1 hoặc

\(\frac{2}{\sqrt{x}+1}+\frac{6}{\sqrt{6x+3}+3}=5x-3\)

x>1 thì \(\frac{2}{\sqrt{x}+1}+\frac{6}{\sqrt{6x+3}+3}< \frac{2}{1+1}+\frac{6}{3+3}=2\)   hay 5x- 3<2 <=> x<1( vô lý)

x<1 thì \(\frac{2}{\sqrt{x}+1}+\frac{6}{\sqrt{6x+3}+}>2\) hay 5x-3>2 <=> x>1 (vô lý)

x=1 thỏa mãn

vậy pt có nghiệm duy nhất x=1

dấu "=" xảy ra khi A và B cùng dấu.

Dấu "=" khi \(AB\ge0\)

Còn ý một thì mk ko bt làm

Hok tốt

\(\frac{x2}{y+z}+x=\frac{x^2+x\left(y+z\right)}{y+z}=\frac{x\left(x+y+z\right)}{y+z}\)

Tương tự ta có:

\(\frac{y^2}{x+z}+y=\frac{y\left(x+y+z\right)}{x+z};\frac{z^2}{x+y}+z=\frac{z\left(x+y+z\right)}{x+y}\)

Cộng vế theo vế ta có:

\(\frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{x+z}+\frac{z^2}{x+y}+x+y+z=\left(x+y+z\right)\left(\frac{x}{y+z}+\frac{y}{x+z}+\frac{z}{x+y}\right)\)

\(\Leftrightarrow\frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{x+z}+\frac{z^2}{x+y}+2020=2020\)

E ms bt bài này thôi ạ

câu 3 đây nha https://h.vn/hoi-dap/question/863392.html

b: MD*MC=MH*DC=2*a

a: Xet ΔBEC vuông tại B và ΔCFD vuông tại C có

BE=CF

BC=CD

=>ΔBEC=ΔCFD

=>góc BEC=góc CFD

=>góc CFD+góc FCM=90 độ

=>CE vuông góc BD

Xét ΔDMC vuông tại D và ΔCBE vuông tại B có

góc MCD=góc BEC

=>ΔDMC đồng dạng với ΔCBE

\(S_{CBE}=\dfrac{1}{2}\cdot S_{BAC}=\dfrac{1}{4}\cdot S_{ABCD}\)

ΔDMC đồng dạng với ΔCBE

=>\(\dfrac{S_{DMC}}{S_{CBE}}=\left(\dfrac{DC}{CE}\right)^2=\left(\dfrac{2\cdot BE}{\sqrt{\left(2\cdot BE\right)^2+BE^2}}\right)^2=\left(\dfrac{2}{\sqrt{5}}\right)^2=\dfrac{4}{5}\)

=>\(S_{DMC}=\dfrac{4}{5}\cdot S_{CBE}=\dfrac{4}{5}\cdot\dfrac{1}{4}\cdot S_{ABCD}=\dfrac{1}{5}\cdot S_{ABCD}\)

\(a+b+c\le\sqrt{3}\)

\(\Rightarrow ab+bc+ac\le\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}=1\)

Thay vào M ta có: \(M\le\frac{a}{\sqrt{a^2+ab+bc+ac}}+\frac{b}{\sqrt{b^2+ab+bc+ac}}+\frac{c}{\sqrt{c^2+ab+bc+ac}}\)

\(=\frac{a}{\sqrt{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}}+\frac{b}{\sqrt{\left(b+c\right)\left(b+c\right)}}+\frac{c}{\sqrt{\left(c+a\right)\left(c+b\right)}}\)

Xét: \(\left(\frac{a}{a+b}+\frac{a}{a+c}\right)^2\ge\frac{4a^2}{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}\Leftrightarrow\frac{a}{a+b}+\frac{a}{a+c}\ge\frac{2a}{\sqrt{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}}\)

Tương tự rồi cộng vế vs vế ta được: \(M\le\frac{\frac{a+b}{a+b}+\frac{b+c}{b+c}+\frac{a+c}{a+c}}{2}=\frac{3}{2}\)

Dấu = xảy ra khi a=b=c = \(\frac{\sqrt{3}}{3}\)

cosplay de chuyen thai nguyen 17-18

\(A=\frac{\left(y+z\right)\sqrt{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}}{x}+\frac{\left(x+z\right)\sqrt{\left(x+y\right)\left(y+z\right)}}{y}+\frac{\left(x+y\right)\sqrt{\left(y+z\right)\left(x+z\right)}}{z}.\)

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski ta có

\(\left(x+y\right)\left(x+z\right)\ge\left(x+\sqrt{yz}\right)^2\)

Tương tự \(\left(x+y\right)\left(y+z\right)\ge\left(y+\sqrt{xz}\right)^2\)

                 \(\left(y+z\right)\left(x+z\right)\ge\left(z+\sqrt{xy}\right)^2\)

\(\Rightarrow A\ge\frac{\left(y+z\right)\left(x+\sqrt{yz}\right)}{x}+\frac{\left(x+z\right)\left(y+\sqrt{xz}\right)}{y}+\frac{\left(x+y\right)\left(z+\sqrt{xy}\right)}{z}\)

hay \(A\ge2\left(x+y+z\right)+\frac{\sqrt{yz}\left(y+z\right)}{x}+\frac{\left(x+z\right)\sqrt{xz}}{y}+\frac{\left(x+y\right)\sqrt{xy}}{z}\)

\(\Leftrightarrow A\ge2\left(x+y+z\right)+\frac{yz\sqrt{yz}\left(y+z\right)}{xyz}+\frac{xz\sqrt{xz}\left(x+z\right)}{xyz}+\frac{xy\sqrt{xy}\left(x+y\right)}{xyz}\)

Đặt \(M=\frac{yz\sqrt{yz}\left(y+z\right)}{xyz}+\frac{xz\sqrt{xz}\left(x+z\right)}{xyz}+\frac{xy\sqrt{xy}\left(x+y\right)}{xyz}\)

Ta có \(\left(x,y,z\right)\rightarrow\left(a^2,b^2,c^2\right)\)

Khi đó \(M=\frac{a^3b^3\left(a^2+b^2\right)+b^3c^3\left(b^2+c^2\right)+c^3a^3\left(a^2+c^2\right)}{a^2b^2c^2}\)

ÁP DỤNG BĐT AM-GM ta có

\(a^5b^3+a^3b^5\ge2\sqrt{a^8b^8}=2a^4b^4\)

\(b^5c^3+b^3c^5\ge2\sqrt{b^8c^8}=2b^4c^4\)

\(a^5c^3+a^3c^5\ge2\sqrt{a^8c^8}=2a^4c^4\)

Cộng từng vế ta được 

\(a^3b^3\left(a^2+b^2\right)+b^3c^3\left(b^2+c^2\right)+c^3a^3\left(a^2+c^2\right)\ge2\left(a^4b^4+b^4c^4+c^4a^4\right)\)

              \(\ge2a^2b^2c^2\left(a^2+b^2+c^2\right)\)

\(\Rightarrow M\ge2\left(a^2+b^2+c^2\right)=2\left(x+y+z\right)\)

\(\Rightarrow A\ge4\left(x+y+z\right)=4\sqrt{2019}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=\frac{\sqrt{2019}}{3}\)