Ta có: \(5x^2+2xy+y^2-16x+16=0\)

\(\Leftrightarrow\left(4x^2-16x+16\right)+\left(x^2+2xy+y^2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow4\left(x-2\right)^2+\left(x+y\right)^2=0\)

Vì \(\hept{\begin{cases}4\left(x-2\right)^2\ge0;\forall x,y\\\left(x+y\right)^2\ge0;\forall x,y\end{cases}}\)\(\Rightarrow4\left(x-2\right)^2+\left(x+y\right)^2\ge0;\forall x,y\)

Do đó \(4\left(x-2\right)^2+\left(x+y\right)^2=0\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}4\left(x-2\right)^2=0\\\left(x+y\right)^2=0\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=2\\y=-2\end{cases}}\)

Vậy ...

a)  \(2x+3y+5z=15\)

Vì (2; 3; 5 ) =1

=> Phương trình sẽ có nghiệm nguyên.

\(pt\Leftrightarrow2x+5z=15-3y\)

Đặt: 15 - 3 y = a 

Phương trình trở thành: \(2x+5z=a\) (1)

Phương trình (1) có 1 nghiệm là: x = -2a và z = a

=> Phương trình (1) có ngiệm tổng quát là: x = - 2a - 5t ; z = a + 2t  (2)

Thế  a = 15 -3y vào (2). Ta có: x = -2 (15-3y ) -5t = -30 + 6y - 5t và z = 15-3y +2t

Vậy phương trình trên có nghiệm:

\(\hept{\begin{cases}x=-30+6y-5t\\z=15-3y+2t\\y,t\in Z\end{cases}}\)

Bài b/ tương tự.

Với  \(x\ge9\).

Ta có:  \(A=\frac{\sqrt{x-9}}{5x}\)

<=> \(5Ax=\sqrt{x-9}\)

<=> \(\hept{\begin{cases}A\ge0\\25A^2x^2=x-9\left(1\right)\end{cases}}\)

(1) <=> \(25A^2x^2-x+9=0\)

phương trình trên có nghiệm  <=> \(\Delta\ge0\)<=> \(1^2-900A^2\ge0\)<=> \(-\frac{1}{30}\le A\le\frac{1}{30}\)

=> \(Amax=\frac{1}{30}\) xảy ra <=> \(25.\frac{1}{900}x^2-x+9=0\Leftrightarrow x=18>9\)(thỏa mãn)

Vậy:...

Nguyễn Linh Chi em có cách lớp 8 (nâng cao) này:)

ĐK: x>= 9

Xét a > 0.

Ta có: \(A=\frac{1}{\sqrt{a}}.\frac{\sqrt{a\left(x-9\right)}}{5x}\le\frac{1}{\sqrt{a}}.\frac{a+x-9}{10x}=\frac{\sqrt{a}}{10x}+\frac{1}{10\sqrt{a}}-\frac{9}{10x\sqrt{a}}\)

\(=\frac{1}{10x}\left(\sqrt{a}-\frac{9}{\sqrt{a}}\right)+\frac{1}{10\sqrt{a}}\)

Như vậy ta chọn a để biểu thức không phụ thuộc vào biến x. Tức là \(\sqrt{a}-\frac{9}{\sqrt{a}}=0\Leftrightarrow a=9\)

Bây giờ thay ngược a bởi 9 vào các cái bên trên là xong:D. Ta được: \(A\le\frac{1}{30}\)

Đẳng thức xảy ra khi a = x -9 <=> 9 =x-9<=>x=18

max=căn 66

áp dụng bất đẳng thức cô si là ra 

tích cho nha

Áp dụng bđt côsi ta có: 

\(\hept{\begin{cases}\sqrt{\left(x+y\right)4}\le\frac{x+y+4}{2}\left(1\right)\\\sqrt{\left(z+y\right)4}\le\frac{y+z+4}{2}\left(2\right)\\\sqrt{\left(z+x\right)4}\le\frac{z+x+4}{2}\left(3\right)\end{cases}}\)

Lấy \(\left(1\right)+\left(2\right)+\left(3\right)\)ta được:

\(2P\le x+y+z+6=12\)

\(\Leftrightarrow p\le6\)

Dấu"="xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=z=2\)

Vậy \(P_{max}=6\)\(\Leftrightarrow x=y=z=2\)

x thuộc j hả bạn

Ta có: \(2\left(a^3+b^3+c^3\right)=2a^3+2b^3+2c^3\)

\(=\left(a+b\right)\left(a^2+ab+b^2\right)+\left(b+c\right)\left(b^2+bc+c^2\right)+\left(a+c\right)\left(a^2+ac+c^2\right)\)(1)

Mặt khác:

\(a^2b+ab^2+b^2c+bc^2+c^2a+ca^2\)

\(=ab\left(a+b\right)+bc\left(b+c\right)+ca\left(c+a\right)\)(2)

Vì \(\hept{\begin{cases}a^2+ab+b^2\ge ab\\b^2+bc+c^2\ge bc\\a^2+ac+c^2\ge ac\end{cases}}\) 

\(\Rightarrowđpcm\)

mk có cách khác 

Các bn góp ý xem mk làm đúng chưa nha

Xét Tổng

 \(A=2a^3+2b^3+2c^3+ab^2+bc^2+ca^2+a^2b+b^2c+c^2a\)

Áp dụng BDT Cô-si cho 2 số ko âm ta có

\(a^3+ab^2\ge2a^2b,a^3+c^2a\ge2ca^2\)

\(b^3+bc^2\ge2b^2c,b^3+a^2b\ge2ab^2\)

\(c^3+ca^2\ge2c^2a,c^3+b^2c\ge2bc^2\)

Cộng từng vế các BĐT trên ta có 

\(A\ge2\left(a^2b+ab^2+b^2c+bc^2+c^2a+ca^2\right)\)

=> ĐPCM

dk \(x\ge0;2x+1\ge0< =>x\ge0\)

2(x+1)\(\sqrt{x}+\sqrt{3\left(x+1\right)^2\left(2x+1\right)}=\left(x+1\right)\left(5x^2-8x+8\right)< =>\)

\(2\sqrt{x}+\sqrt{3\left(2x+1\right)}=5x^2-8x+8\)(x+1>0 với x\(\ge0\)) <=>

2\(\sqrt{x}-2+\sqrt{6x+3}-3=5x^2-8x+3\) <=>\(\frac{2\left(x-1\right)}{\sqrt{x}+1}+\frac{6\left(x-1\right)}{\sqrt{6x+3}+3}=\left(x-1\right)\left(5x-3\right)< =>\)x-1=0 <=>x= 1 hoặc

\(\frac{2}{\sqrt{x}+1}+\frac{6}{\sqrt{6x+3}+3}=5x-3\)

x>1 thì \(\frac{2}{\sqrt{x}+1}+\frac{6}{\sqrt{6x+3}+3}< \frac{2}{1+1}+\frac{6}{3+3}=2\)   hay 5x- 3<2 <=> x<1( vô lý)

x<1 thì \(\frac{2}{\sqrt{x}+1}+\frac{6}{\sqrt{6x+3}+}>2\) hay 5x-3>2 <=> x>1 (vô lý)

x=1 thỏa mãn

vậy pt có nghiệm duy nhất x=1