\(DK:x\in\left[\frac{1}{2};4\right]\)

PT

\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{x^2+x+2}-2\right)+\left(\sqrt{2x-1}-1\right)+\left(x-1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\frac{\left(x-1\right)\left(x+2\right)}{\sqrt{x^2+x+2}+2}+\frac{2\left(x-1\right)}{\sqrt{2x-1}+1}+\left(x-1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(\frac{x+2}{\sqrt{x^2+x+2}}+\frac{2}{\sqrt{2x-1}+1}+1\right)=0\)

Vì \(\frac{x+2}{\sqrt{x^2+x+2}}+\frac{2}{\sqrt{2x-1}+1}+1>0\)

\(\Rightarrow x=1\left(n\right)\)

Vay nghiem cua PT la \(x=1\)

F=x³+y³+2xy=(x+y)³-3xy(x+y)+2xy

=(x+y)³-xy(3x+3y-2)

=2007³-xy[3.2007-2]

làm tiếp đi 

chú ý \(xy\le\frac{\left(x+y\right)^2}{4}\)(bđt AM-GM)

Đầu tiên tìm GTLN, GTNN của xy.

Không mất tính tổng quát giả sử:

\(x\ge y+1\)

\(\Leftrightarrow x-y-1\ge0\)

\(\Leftrightarrow x-y-1+xy\ge xy\)

\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(y+1\right)\ge xy\)

Từ đây ta suy được:

\(2006.1< 2005.2< 2004.3< ...< 1003.1004\)

Vậy \(min_{xy}=2006.1;max_{xy}=1003.1004\)

Ta lại có:

\(F=\left(x+y\right)^3-xy\left(3x+3y-2\right)\)

Thế vô là xong

khai triển và rút gọn ta được:

\(4a^3+4b^3+4c^3+24abc\ge\left(a+b+c\right)^3.\)<=> \(a^3+b^3+c^3+8abc\ge\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\)<=> a(a-b)(a-c) + b(b-a)(b-c) +c(c-a)(c-b) +3abc\(\ge0\)

giả sử \(a\ge b\ge c\)

c(c-a)(c-b)\(\ge0\)

a(a-b)(a-c) + b(b-a)(b-c) = (a-b)(a² - b² + bc-ac) = (a-b)²(a+b-c) \(\ge0\)

3abc\(\ge0\)

cộng vế theo vế ta được bdt cần chứng minh

dâu '=' khi \(\hept{\begin{cases}c\left(c-a\right)\left(c-b\right)=0\\\left(a-b\right)^2\left(a+b-c\right)=0\\3abc=0\end{cases}}\)=> a=b; c=0

điều kiện x\(x^3\ge0< =>x\ge0\)

pt <=> x³ +\(\sqrt{x^3}=\left(x+4\right)^2+\left(x+4\right)\)

đặt \(\sqrt{x^3}=a\left(a\ge0\right)=>a^2=x^3\)ta có hệ \(\hept{\begin{cases}a^2+a=\left(x+4\right)^2+\left(x+4\right)\\a^2=x^3\end{cases}< =>\hept{\begin{cases}\left(a-x-4\right)\left(a+x+4+1\right)=0\\a^2=x^3\end{cases}< =>}}\)

\(\hept{\begin{cases}a-x-4=0\\a^2=x^3\end{cases}\left(a+x+5>0\right)}\)vì a; x\(\ge0\) <=> \(\hept{\begin{cases}a=x+4\\\left(x+4\right)^2=x^3\end{cases}< =>x^3-x^2-8x-16=0}\)<=> (x-4)(x² +3x +4) = 0 <=> x=4 (vì x² +3x+4>0 với x\(\ge0\))

vậy x=4 là nghiệm duy nhất

cam on anh

goi giao MF voi ABla H , giao ME voi AC la K, MD voi BC la I

Do tam giac ABC noi tiep (O) ma M thuoc (o) nen ABMC noi tiep

xet tam giac MDF co \(\hept{\begin{cases}H.la.trung.diem.MF\\I.la.trung.diem.DM\end{cases}\Rightarrow HI//DF}\) (1)

tuong tu cung co \(IK//ED\) va  \(HK//EF\) ( do tinh chat duong trung binh)          (2)

Xet tu giac HBIM co \(\widehat{BHM}+\widehat{BIM}=90+90=180^o\)

=> HBIM la tu giac noi tiep => \(\widehat{HIB}=\widehat{BMH}\)  (cung chan \(\widebat{BH}\) )   (4)

tuong tu cung chung minh duoc tu giac MIKC la tu giac noi tiep => \(\widehat{KIC}=\widehat{KMC}\left(cung.chan.\widebat{KC}\right)\)(3)

Lai co \(\widehat{HBM}=\widehat{MAH}+\widehat{AMB}\) (tinh chat goc ngoai)

va \(\widehat{MCK}=\widehat{MCB}+\widehat{ACB}\) 

ma ABMC noi tiep suy ra \(\hept{\begin{cases}\widehat{AMB}=\widehat{ACB}\\\widehat{MAB}=\widehat{MCB}\end{cases}}\)

=> \(\widehat{MHB}=\widehat{MCK}\)

xet tam giac MHB va tam giac MKC co

\(\widehat{H}=\widehat{K}=90\)

\(\widehat{MHB}=\widehat{MCK}\) (cmt)

=> \(\widehat{HMB}=\widehat{KMC}\) (5)

tu (3),(4),(5)  =>\(\widehat{HIB}=\widehat{KIC}\)

=> H,I,K thang hang (6)

tu (1),(2),(6)

suy ra F,D,E thang hang ( tien de Oclit)

chuc ban hoc tot

Cần gấp !!

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x+y=1,5\\\sqrt{x^2+2}+\sqrt{y^2+3}=3,5\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\sqrt{\left(1,5-y\right)^2+2}+\sqrt{y^2+3}=3,5\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{\left(1,5-y\right)^2+2}=3,5-\sqrt{y^2+3}\)

Bình phương 2 vế 2 lần là tìm được y thế vô tìm được x