\(\hept{\begin{cases}2x^2+2xy+2x+6=0\left(1\right)\\\left(x+1\right)^2+3\left(y+1\right)+2\left(xy-\sqrt{x^2y+2y}\right)=0\left(2\right)\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\left(1\right)-\left(2\right)\Leftrightarrow x^2+2-3y+2\sqrt{y\left(x^2+2\right)}=0\)

\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{x^2+2}+\sqrt{y}\right)^2-4y=0\)

\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{x^2+2}+\sqrt{y}-2\sqrt{y}\right)\left(\sqrt{x^2+2}+\sqrt{y}+2\sqrt{y}\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{x^2+2}-\sqrt{y}\right)\left(\sqrt{x^2+2}+3\sqrt{y}\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{x^2+2}-\sqrt{y}=0\)

\(\Leftrightarrow y=x^2+2\)

Làm nốt

\(ĐK y⩾0\)

Hệ đã cho tương đương với 

          {2x2+2xy+2x+6=0(x+1)2+3(y+1)+2xy=2√y(x2+2){2x2+2xy+2x+6=0(x+1)2+3(y+1)+2xy=2y(x2+2)

Trừ từng vế 22 phương trình ta được

          x2+2+2√y(x2+2)−3y=0x2+2+2y(x2+2)−3y=0

 ⇔(√x2+2−√y)(√x2+2+3√y)=0⇔(x2+2−y)(x2+2+3y)=0

 ⇔x2+2=y

Ngoại trừ 2 bạn được điểm 10 thì lớp sẽ còn lại số học sinh vào các điểm còn lại là :

                                \(45-2=43\)( học sinh )

Vì không có ai dưới điểm 2 nên 43 bạn học sinh còn lại sẽ được số điểm từ 2 đến 9.Mà từ 2  đến 9  có 8 số

Mà \(43=8.5+3\)

Theo nguyên lí Đi-richlet thì có ít nhất \(5+1=6\)học sinh có số điểm giống nhau.

Ta có: \(2\equiv-1\left(mod3\right)\)

\(\Rightarrow2^{1975}\equiv-1\left(mod3\right)\)

Lại có: \(5^{2010}=\left(5^2\right)^{1005}=25^{1005}\)

Mà \(25\equiv1\left(mod3\right)\)

\(\Rightarrow25^{1005}\equiv1\left(mod3\right)\)

\(\Rightarrow2^{1975}+25^{1005}\equiv0\left(mod3\right)\)

Hay \(2^{1975}+5^{2010}\equiv0\left(mod3\right)\)

\(\Rightarrow2^{1975}+5^{2010}⋮3\left(đpcm\right)\)

\(P=2017-\frac{2-4x}{x^2+2}=2018-1-\frac{2-4x}{x^2+2}=2018-\left(\frac{x^2-4x+4}{x^2+2}\right)=2018-\frac{\left(x-2\right)^2}{x^2+2}\le2018\)

"=" xảy ra <=> x =2 

Vậy GTLN của P = 2018 <=> x =2.