Bài làm:

Ta có: \(\frac{a+b}{c}+\frac{b+c}{a}+\frac{c+a}{b}\)

\(=\frac{a}{c}+\frac{b}{c}+\frac{b}{a}+\frac{c}{a}+\frac{c}{b}+\frac{a}{b}\)

\(=\left(\frac{a}{c}+\frac{c}{a}\right)+\left(\frac{b}{c}+\frac{c}{b}\right)+\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)\)

Áp dụng Bất đẳng thức Cauchy (AM-GM), ta được:

\(\left(\frac{a}{c}+\frac{c}{a}\right)+\left(\frac{b}{c}+\frac{c}{b}\right)+\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)\)\(\ge2\sqrt{\frac{a}{b}.\frac{b}{a}}+2\sqrt{\frac{b}{c}.\frac{c}{b}}+2\sqrt{\frac{a}{b}.\frac{b}{a}}\)

\(=2.\sqrt{1}+2.\sqrt{1}+2.\sqrt{1}\)\(=2+2+2\)\(=6\)

=> \(\frac{a+b}{c}+\frac{b+c}{a}+\frac{c+a}{b}\ge6\)

Dấu "=" xảy ra khi: \(\hept{\begin{cases}\frac{a}{b}=\frac{b}{a}\\\frac{c}{a}=\frac{a}{c}\\\frac{b}{c}=\frac{c}{b}\end{cases}\Rightarrow a=b=c=1}\)

Vậy \(\frac{a+b}{c}+\frac{b+c}{a}+\frac{c+a}{b}=6\)khi \(a=b=c=1\)

Học tốt!!!!

Theo giả thiết : \(\frac{a+b}{c}+\frac{b+c}{a}+\frac{c+a}{b}=6\)

\(< =>\frac{a}{c}+\frac{b}{c}+\frac{b}{a}+\frac{c}{a}+\frac{c}{b}+\frac{a}{b}=6\)

\(< =>\frac{ac+bc}{c^2}+\frac{ba+ca}{a^2}+\frac{cb+ba}{b^2}=6\)

Ta có : \(VT=\frac{ac+bc}{c^2}+\frac{ba+ca}{a^2}+\frac{cb+ba}{b^2}\)

\(=\frac{ac}{c^2}+\frac{bc}{c^2}+\frac{ba}{a^2}+\frac{ca}{a^2}+\frac{cb}{b^2}+\frac{ba}{b^2}\)

\(\ge6\sqrt[6]{\frac{a^2c^2b^2c^2b^2a^2}{a^4b^4c^4}}=6\)

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(a=b=c\)

Xin chém cách khác ạ =))

Chiều cao của cây là

\(\frac{h_{nam}}{h_{cây}}=\frac{d_{nam}}{d_{cây}}\)( d là độ dài bóng, h là chiều  cao)

\(\Leftrightarrow\frac{1,5}{h_{cây}}=\frac{2}{12}\)

\(\Leftrightarrow h_{cây}=\frac{1,5.12}{2}=9\left(m\right)\)

\(C=\frac{x^2+5x+8}{x^2+2x+1}=\frac{x^2+2x+1+3x+3+4}{x^2+2x+1}\)

\(=\frac{\left(x+1\right)^2+3\left(x+1\right)+4}{\left(x+1\right)^2}=1+\frac{3}{x+1}+\frac{4}{\left(x+1\right)^2}\)

Đặt \(\frac{1}{x+1}=a\)\(\Rightarrow C=1+3a+4a^2\)

\(\Rightarrow C=4\left(a^2+\frac{3}{4}a+\frac{1}{4}\right)=4\left(a^2+2.\frac{3}{8}+\frac{9}{64}-\frac{9}{64}+\frac{1}{4}\right)\)

\(=4\left(a+\frac{3}{8}\right)^2+\frac{7}{16}\)

\(\Rightarrow C_{min}=\frac{7}{16}\Leftrightarrow\)\(a=-\frac{3}{8}\Leftrightarrow\frac{1}{x+1}=-\frac{3}{8}\)

\(\Rightarrow3\left(x+1\right)=-8\Rightarrow x=-\frac{11}{3}\)

Vậy \(C_{min}=\frac{16}{7}\Leftrightarrow x=-\frac{11}{3}\)

chia tử cho mẫu 

=>B=2+1/x+1/x^2

sau đó nhóm các số thành hằng đẳng thức là ra

bn làm ra đi

a) Xét △BEA và △BAC có :

           \(\widehat{E}=\widehat{A}\left(=90^o\right)\)

           \(\widehat{B}\)là góc chung

\(\Rightarrow\)△BEA ~ △BAC (g.g)

b) +) Vì △BEA ~ △BAC

\(\Rightarrow\frac{AB}{BC}=\frac{BE}{AB}\)

\(\Rightarrow AB^2=BE.BC\)

\(\Rightarrow BE=1,8\left(cm\right)\)

+) Áp dụng định lý Pythagoras vào △ABC, ta được :

     \(BC^2=AB^2+AC^2\)

\(\Rightarrow AC^2=5^2-3^2\)

\(\Rightarrow AC^2=16\)

\(\Rightarrow AC=4\left(cm\right)\)

+) Vì △BEA ~ △BAC

\(\Rightarrow\frac{AE}{AC}=\frac{BE}{AB}\)

\(\Rightarrow AE=\frac{AC.BE}{AB}=\frac{4\cdot1,8}{3}=2,4\left(cm\right)\)

c) Xét △BAI và △BEK có :

           \(\widehat{A}=\widehat{E}=\left(90^o\right)\)

           \(\widehat{ABI}=\widehat{IBC}\left(=\frac{1}{2}\widehat{ABC}\right)\)

\(\Rightarrow\)Vì △BAI ~ △BEK (g.g)

\(\Rightarrow\frac{EK}{AI}=\frac{BE}{BA}\)

\(\Rightarrow BE.AI=BA.EK\)(ĐPCM)

d) Vì BI là tia phân giác \(\widehat{B}\)của Vì △ABC

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}\frac{KA}{KE}=\frac{AB}{BE}\\\frac{IC}{IA}=\frac{BC}{AB}\end{cases}}\)

Vì Vì △BEA ~ △BAC

\(\Rightarrow\frac{AB}{BE}=\frac{BC}{AB}\)

\(\Rightarrow\frac{KA}{KE}=\frac{IC}{IA}\)(ĐPCM)

h cho mình vs

Gọi số hàng của kho thứ nhất là a tấn hàng (a > 0)

\(\Rightarrow\)Số hàng của kho thứ hai là \(\frac{a}{4}\)tấn hàng

Ta có phương trình :

\(\frac{5}{6}\left(a-24\right)=\frac{a}{4}+24\)

\(\Leftrightarrow\frac{5}{6}a-20=\frac{a}{4}+24\)

\(\Leftrightarrow\frac{7}{12}a=44\)

\(\Leftrightarrow a=\frac{528}{7}\)

Vậy số hàng trong kho thứ nhất là \(\frac{528}{7}\)tấn

       số hàng trong kho thứ hai là \(\frac{528}{7}\cdot\frac{1}{4}=\frac{137}{7}\)tấn

2) \(x^4-x^2+2x+2\)

\(=x^2\left(x-1\right)\left(x+1\right)+2\left(x+1\right)\)

\(=x^2\left(x-1+2\right)\left(x+1\right)\)

\(=x^2\left(x+1\right)^2\)

\(=\left(x^2+x\right)^2\)

Vậy \(x^4-x^2+2x+2\)là số chính phương với mọi số nguyên x