\(P=\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a}\)

\(P^2=2+2\sqrt{\left(a+b\right)\left(b+c\right)}+2\sqrt{\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\)

\(+2\sqrt{\left(a+b\right)\left(c+a\right)}\)

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy 

\(\Rightarrow2\sqrt{\left(a+b\right)\left(b+c\right)}\le a+2b+c\)

Tương tự ta có :     \(\hept{\begin{cases}2\sqrt{\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\le a+b+2c\\2\sqrt{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}\le2a+b+c\end{cases}}\)

\(\Rightarrow P^2\le2+4\left(a+b+c\right)\)
\(\Rightarrow P\le\sqrt{6}\)

Vậy \(P_{Max}=\sqrt{6}\)

Dấu " = " xảy ra khi  \(a=b=c=\frac{1}{3}\)

Chúc bạn học tốt !!!

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy 

\(1+x^3+y^3\ge3\sqrt[3]{x^3y^3}=3xy\)

\(\Rightarrow\frac{\sqrt{1+x^3+y^3}}{xy}\ge\frac{\sqrt{3xy}}{xy}=\sqrt{\frac{3}{xy}}\)

Hoàn toàn tương tự :
\(\frac{\sqrt{1+y^3+z^3}}{yz}\ge\sqrt{\frac{3}{yz}};\frac{\sqrt{1+z^3+x^3}}{xz}\ge\sqrt{\frac{3}{xz}}\)

Cộng theo vế các bất đẳng thức và thu lại ta được :
\(VT\ge\sqrt{\frac{3}{xy}}+\sqrt{\frac{3}{yz}}+\sqrt{\frac{3}{xz}}\ge3\sqrt[6]{\frac{27}{x^2y^2z^2}}=3\sqrt[6]{27}=3\sqrt{3}\)

( Cauchy )

Ta có đpcm 

Dấu " = " xảy ra khi \(x=y=z=1\)

Chúc bạn học tốt !!!

Cách khác nè bạn

Xét bđt phụ \(a^3+b^3\ge ab\left(a+b\right)\left(a,b>0\right)\)

Thật vậy\(\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)-ab\left(a+b\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(a-b\right)^2\ge0\)(luôn đúng với a,b>0)

Áp dụng ta có \(x^3+y^3+1\ge xy\left(x+y\right)+xyz=xy\left(x+y+z\right)\)

\(\Leftrightarrow\frac{\sqrt{1+x^3+y^3}}{xy}\ge\frac{\sqrt{xy}\sqrt{x+y+z}}{xy}=\sqrt{\frac{x+y+z}{xy}}\)

T tự ta có:\(VT\ge\sqrt{x+y+z}\left(\frac{1}{\sqrt{xy}}+\frac{1}{\sqrt{xz}}+\frac{1}{xy}\right)=\sqrt{x+y+z}\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\right)\ge\sqrt{3\sqrt[3]{xyz}}.3\sqrt[3]{\sqrt{xyz}}=3\sqrt{3}\left(xyz=1\left(gt\right)\right)\)

Chứng minh bổ đề : \(\frac{4x}{3-4x^2}\ge4x^2\)

\(\Leftrightarrow1+4x^3\ge3x\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+4x^3\ge3x\)

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy 

\(\Rightarrow\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+4x^3\ge3\sqrt[3]{\frac{4x^3}{4}}=3x\left(đpcm\right)\)

Áp dụng bổ đề cho các phân thức còn lại và thu lại ta có :

\(P\ge4\left(x^2+y^2+z^2\right)\ge4\left(xy+yz+xz\right)=3\)

Vậy \(P_{min}=3\)

Chúc bạn học tốt !!!

Chứng minh bổ đề: \(\frac{4x}{3-4x^2}\ge4x^2\)

\(\Leftrightarrow1+4x^3\ge3x\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+4x^3\ge3x\)

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy

\(\Rightarrow\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+4x^3\ge3\sqrt[3]{\frac{4x^3}{4}=3x\left(đpcm\right)}\)

Áp dụng bổ đề cho các phân thức còn lại và thu lại ta có

\(P\ge4\left(x^2+y^2+z^2\right)\ge4\left(xy+yz+xz\right)=3\)

Vậy \(Pmin=3\)

Gọi phương trình đường thẳng AB là y=ax+b.

Thay A(1;2) ta có 2=a+b    (1)

Thay B(-1,5;-3) ta có -3=-1,5a+b   (2)

Từ (1)(2)\(\Rightarrow\)a=2;b=0.Khi đó ptđt AB là y=-2x (*)

Vì A(1;2) nên A thuộc góc phần tư thứ II

 B(-1,5;-3) nên B thuộc góc phần tư thứ IV

Do đó đoạn thẳng AB luôn đi qua góc phần tư thứ II và IV  (**)

Từ (*)(**) ta có đoạn thẳng AB đi qua gốc tọa độ

ạn noi

k bít làm

k có câu c

xạo chóa quá e ! lớp 9 j chứ , cái này lớp 7 

Câu hỏi của Nguyễn Trần Duy Thiệu - Toán lớp 8 | Học trực tuyến

vào thống kê 

hc tốt 

 Xét với n=3k+r(k,rϵN;0≤r≤2)

Đặt A

Ta có: A=2^n−1=2^3k+r−1=2^r.8^k−1=2^r(8^k−1)+2^r−1≡2^r−1(mod7)

A⋮8<=>2^r−1⋮8

Với: r=0⇒2^r−1=0⋮8

r=1⇒2^r−1=1≡1(mod8)

r=2⇒2^r−1=3≡3(mod7)

→ Với n=3k(kϵN thì A⋮7)

hơi khó nha bạn