d##

 me m##

\(\frac{1}{a+bc}+\frac{1}{b+ac}=\frac{1}{a+b}\)

\(\Leftrightarrow\frac{\left(a+b\right)\left(c+1\right)}{\left(a+bc\right)\left(b+ac\right)}=\frac{1}{a+b}\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2\left(c+1\right)=ab\left(c^2+1\right)+c\left(a^2+b^2\right)\)

\(\Leftrightarrow2abc+a^2+b^2+ab=abc^2\)

\(\Leftrightarrow\left(a^2+b^2+2ba\right)=ab\left(c^2-2c+1\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2=ab\left(c-1\right)^2\)

\(\Rightarrow ab>0\) , ab là bình phương của số hữu tỉ

\(\Rightarrow c-1=\frac{a+b}{\sqrt{ab}}\)

\(\Rightarrow c+1=\frac{a+b}{\sqrt{ab}}+2=\left(\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}\right)^2\)

Khi đó : \(\frac{c-3}{c+1}=1-\frac{4}{c+1}=1-\frac{4\sqrt{ab}}{\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)^2}=\frac{\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2}{\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)^2}\)

Mà \(\frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}=\frac{\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2}{a-b}=\frac{a+b-2\sqrt{ab}}{a-b}\) là số hữu tỉ do ab là bình phương của số hữu tỉ 

\(\Rightarrow\frac{c-3}{c+1}\) là bình phương của số hữu tỉ ( đpcm )

Bạn ơi sao mà ab la bình phương số hữu tị vậy ạ ?

\(\Delta ABC\)vuông tại A có \(sinB=\frac{\sqrt{3}}{2}\Rightarrow\widehat{B}=60^0\)

\(\Rightarrow\widehat{C}=30^0\)

Lúc đó \(\Delta ABC\)là nửa tam giác đều 

\(\Rightarrow AB=\frac{1}{2}BC\Rightarrow BC=2AB=2\left(cm\right)\)

Áp dụng định lý Py-ta-go vào \(\Delta ABC\)vuông tại A, được:

\(AC^2=BC^2-AB^2=2^2-1^2=3\)

\(\Rightarrow AC=\sqrt{3}\left(cm\right)\)

Áp dụng ht lượng trong tam giác vuông có :
\(sinB=\frac{AC}{BC}\Leftrightarrow\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{AC}{BC}\Leftrightarrow AC=\frac{BC\sqrt{3}}{2}\)

Áp dụng đinh lí Py-ta- go vào tam giác vuông ABC có :

\(AB^2+AC^2=BC^2\)

\(\Leftrightarrow1+\left(\frac{\sqrt{3}BC}{2}\right)^2=BC^2\)

\(\Leftrightarrow1+\frac{3BC^2}{4}-BC^2=0\)

\(\Leftrightarrow1=\frac{BC^2}{4}\Leftrightarrow BC^2=4\Rightarrow BC=2\left(cm\right)\)

\(\Rightarrow AC=\sqrt{3}\left(cm\right)\)

Chúc bạn học tốt !!!

Bạn tham khảo tại đây:

Câu hỏi của Phan Thị Hà Vy - Toán lớp 9 - Học toán với OnlineMath

\(VT=\frac{a^3}{a^2+abc}+\frac{b^3}{b^2+abc}+\frac{c^3}{c^2+abc}\)

Xét \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=1\Leftrightarrow ab+bc+ac=abc\)

\(\Rightarrow VT=\frac{a^3}{a^2+ab+bc+ac}+\frac{b^3}{b^2+ab+bc+ac}+\frac{c^3}{c^2+ab+bc+ac}\)

\(\Leftrightarrow VT=\frac{a^3}{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}+\frac{b^3}{\left(b+a\right)\left(b+c\right)}+\frac{c^3}{\left(c+b\right)\left(c+a\right)}\)

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có :

\(\frac{a^3}{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}+\frac{a+b}{8}+\frac{a+c}{8}\ge3\sqrt[3]{\frac{a^3}{64}}=\frac{3a}{4}\)

Thiết lập tương tự và thu lại ta có :
\(VT+\frac{a+b+c}{2}\ge\frac{3}{4}\left(a+b+c\right)\)

\(\Rightarrow VT\ge\frac{3}{4}\left(a+b+c\right)-\frac{1}{2}\left(a+b+c\right)=\frac{a+b+c}{4}\) ( đpcm)
Dấu " = " xảy ra khi \(a=b=c=3\)

Chúc bạn học tốt !!!

\(\frac{x+1}{1+y^2}=\frac{\left(x+1\right)\left(y^2+1\right)-y^2\left(x+1\right)}{1+y^2}=x+1-\frac{y^2\left(x+1\right)}{1+y^2}\ge x+1-\frac{xy+y}{2}\)

Tương tự ta có:

\(\frac{y+1}{z^2+1}\ge y+1-\frac{yz+z}{2}\)

\(\frac{z+1}{1+x^2}\ge z+1-\frac{zx+x}{2}\)

Cộng vế theo vế ta có:

\(Q\ge3+\left(x+y+z\right)-\frac{x+y+z+xy+yz+zx}{2}\)

\(=3+\frac{x+y+z-xy-yz-zx}{2}\)

Có BĐT phụ sau:

\(\left(a+b+c\right)^2\ge3\left(ab+bc+ca\right)\) ( tự cm )

\(\Rightarrow xy+yz+zx\le\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}=3\)

Khi đó \(P\ge3\)

Dấu "=" xảy ra tại \(x=y=z=1\)

\(P=\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a}\)

\(P^2=2+2\sqrt{\left(a+b\right)\left(b+c\right)}+2\sqrt{\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\)

\(+2\sqrt{\left(a+b\right)\left(c+a\right)}\)

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy 

\(\Rightarrow2\sqrt{\left(a+b\right)\left(b+c\right)}\le a+2b+c\)

Tương tự ta có :     \(\hept{\begin{cases}2\sqrt{\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\le a+b+2c\\2\sqrt{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}\le2a+b+c\end{cases}}\)

\(\Rightarrow P^2\le2+4\left(a+b+c\right)\)
\(\Rightarrow P\le\sqrt{6}\)

Vậy \(P_{Max}=\sqrt{6}\)

Dấu " = " xảy ra khi  \(a=b=c=\frac{1}{3}\)

Chúc bạn học tốt !!!

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy 

\(1+x^3+y^3\ge3\sqrt[3]{x^3y^3}=3xy\)

\(\Rightarrow\frac{\sqrt{1+x^3+y^3}}{xy}\ge\frac{\sqrt{3xy}}{xy}=\sqrt{\frac{3}{xy}}\)

Hoàn toàn tương tự :
\(\frac{\sqrt{1+y^3+z^3}}{yz}\ge\sqrt{\frac{3}{yz}};\frac{\sqrt{1+z^3+x^3}}{xz}\ge\sqrt{\frac{3}{xz}}\)

Cộng theo vế các bất đẳng thức và thu lại ta được :
\(VT\ge\sqrt{\frac{3}{xy}}+\sqrt{\frac{3}{yz}}+\sqrt{\frac{3}{xz}}\ge3\sqrt[6]{\frac{27}{x^2y^2z^2}}=3\sqrt[6]{27}=3\sqrt{3}\)

( Cauchy )

Ta có đpcm 

Dấu " = " xảy ra khi \(x=y=z=1\)

Chúc bạn học tốt !!!

Cách khác nè bạn

Xét bđt phụ \(a^3+b^3\ge ab\left(a+b\right)\left(a,b>0\right)\)

Thật vậy\(\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)-ab\left(a+b\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(a-b\right)^2\ge0\)(luôn đúng với a,b>0)

Áp dụng ta có \(x^3+y^3+1\ge xy\left(x+y\right)+xyz=xy\left(x+y+z\right)\)

\(\Leftrightarrow\frac{\sqrt{1+x^3+y^3}}{xy}\ge\frac{\sqrt{xy}\sqrt{x+y+z}}{xy}=\sqrt{\frac{x+y+z}{xy}}\)

T tự ta có:\(VT\ge\sqrt{x+y+z}\left(\frac{1}{\sqrt{xy}}+\frac{1}{\sqrt{xz}}+\frac{1}{xy}\right)=\sqrt{x+y+z}\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\right)\ge\sqrt{3\sqrt[3]{xyz}}.3\sqrt[3]{\sqrt{xyz}}=3\sqrt{3}\left(xyz=1\left(gt\right)\right)\)

Chứng minh bổ đề : \(\frac{4x}{3-4x^2}\ge4x^2\)

\(\Leftrightarrow1+4x^3\ge3x\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+4x^3\ge3x\)

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy 

\(\Rightarrow\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+4x^3\ge3\sqrt[3]{\frac{4x^3}{4}}=3x\left(đpcm\right)\)

Áp dụng bổ đề cho các phân thức còn lại và thu lại ta có :

\(P\ge4\left(x^2+y^2+z^2\right)\ge4\left(xy+yz+xz\right)=3\)

Vậy \(P_{min}=3\)

Chúc bạn học tốt !!!

Chứng minh bổ đề: \(\frac{4x}{3-4x^2}\ge4x^2\)

\(\Leftrightarrow1+4x^3\ge3x\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+4x^3\ge3x\)

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy

\(\Rightarrow\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+4x^3\ge3\sqrt[3]{\frac{4x^3}{4}=3x\left(đpcm\right)}\)

Áp dụng bổ đề cho các phân thức còn lại và thu lại ta có

\(P\ge4\left(x^2+y^2+z^2\right)\ge4\left(xy+yz+xz\right)=3\)

Vậy \(Pmin=3\)