Có: \(x+y+z\ge3\sqrt[3]{xyz}=3\)

\(x^2+y^2+z^2=\left(x^2+1\right)+\left(y^2+1\right)+\left(z^2+1\right)-3\ge2x+2y+2z-3\)

\(\ge x+y+z\left(qed\right)\)

Đẳng thức xảy ra khi x = y = z = 1

a) Do tam giác ABC nội tiếp nên sẽ có 1 cạnh là đường kính (BC)

 Xét tam giác ABC có :\(AB^2+AC^2=\left(R\sqrt{2-\sqrt{3}}\right)^2+\left(R\sqrt{2+\sqrt{3}}\right)^2\)

                                                               \(=2R^2-R^2\sqrt{3}+2R^2+R^2\sqrt{3}\)

                                                                \(=4R^2\)

                                                                  \(=BC^2\)

( do BC là đường kính, BC=2R)

      Vậy tam giác ABC là tam giác vuông

\(\sin B=\frac{AC}{BC}=\frac{R\sqrt{2+\sqrt{3}}}{2R}=\frac{\sqrt{2+\sqrt{3}}}{2}\)

suy ra góc B=75 độ

suy ra góc C=90 độ -75 độ =15 độ

\(=\sqrt{\frac{\sqrt{5}\left(8\sqrt{5}-3\sqrt{35}\right)}{\left(8\sqrt{5}+3\sqrt{35}\right)\left(8\sqrt{5}-3\sqrt{35}\right)}}\)\(\left(3\sqrt{2}+\sqrt{14}\right)\)

\(=\sqrt{\frac{40-15\sqrt{7}}{5}}.\left(3\sqrt{2}+\sqrt{14}\right)\)

\(=\sqrt{8-3\sqrt{7}}\left(3\sqrt{2}+\sqrt{14}\right)\)

\(=\frac{\sqrt{2}\sqrt{8-3\sqrt{7}}}{\sqrt{2}}\left(3\sqrt{2}+\sqrt{14}\right)\)

\(=\frac{\sqrt{16-3\sqrt{7}}}{\sqrt{2}}\left(3\sqrt{2}+\sqrt{14}\right)\)

\(=\frac{\sqrt{\left(3-\sqrt{7}\right)^2}}{\sqrt{2}}\left(3\sqrt{2}+\sqrt{14}\right)\)

\(=\frac{\left(3-\sqrt{7}\right)}{\sqrt{2}}.\sqrt{2}\left(3+\sqrt{7}\right)\)

\(=9-7\)

\(=2\)

A=\(\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-1}\)

Do A=căn 2

=> \(\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-1}=\sqrt{2}\)

Đặt căn x=a

=> a/(a-1)=căn 2

=> \(a.\sqrt{2}-\sqrt{2}=a\)

=> \(\left(a-1\right)\left(\sqrt{2}-1\right)=1\)

=> a=\(\frac{1}{\sqrt{2}-1}+1=\frac{\sqrt{2}+1}{\left(\sqrt{2}-1\right)\left(\sqrt{2}+1\right)}+1\)

=> a=căn 2+2

=> \(\sqrt{x}=\sqrt{2}+2\) do căn x=a 

=> \(\sqrt{x}-\sqrt{2}=\sqrt{2}+2-\sqrt{2}=2\)

=> Là số nguyên.