\(x^4-10x^2-11x-10\\ =\left(x^4-x\right)+\left(-10x^2-10x-10\right)\\ =x\left(x^3-1\right)-10\left(x^2+x+1\right)\\ =x\left(x-1\right)\left(x^2+x+1\right)-10\left(x^2+x+1\right)\\ =\left(x^2+x+1\right)\left[x\left(x-1\right)-10\right]\\ =\left(x^2+x+1\right)\left(x^2-x-10\right)\)

\(x^4+6x^2+5x+6\\ =\left(x^4-x\right)+\left(6x^2+6x+6\right)\\ =x\left(x^3-1\right)+6\left(x^2+x+1\right)\\ =x\left(x-1\right)\left(x^2+x+1\right)+6\left(x^2+x+1\right)\\ =\left(x^2+x+1\right)\left[x\left(x-1\right)+6\right]\\ =\left(x^2+x+1\right)\left(x^2-x+6\right)\)

Câu 1: \(x^3+x-2=0\)

=>\(x^3-x^2+x^2-x+2x-2=0\)

=>\(\left(x-1\right)\left(x^2+x+2\right)=0\)

mà \(x^2+x+2=\left(x+\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{7}{4}>=\dfrac{7}{4}>0\forall x\)

nên x-1=0

=>x=1

Câu 3: \(x^4-10x^2-11x-10\)

\(=x^4-x^3-10x^2+x^3-x^2-10x+x^2-x-10\)

\(=x^2\left(x^2-x-10\right)+x\left(x^2-x-10\right)+\left(x^2-x-10\right)\)

\(=\left(x^2-x-10\right)\left(x^2+x+1\right)\)

Câu 5: \(x^3-x^2-14x+24\)

\(=x^3+4x^2-5x^2-20x+6x+24\)

\(=x^2\left(x+4\right)-5x\left(x+4\right)+6\left(x+4\right)\)

\(=\left(x+4\right)\left(x^2-5x+6\right)=\left(x+4\right)\left(x-2\right)\left(x-3\right)\)

Câu 6: \(x^3-5x^2+8x-4\)

\(=x^3-x^2-4x^2+4x+4x-4\)

\(=x^2\left(x-1\right)-4x\left(x-1\right)+4\left(x-1\right)\)

\(=\left(x-1\right)\left(x^2-4x+4\right)=\left(x-1\right)\left(x-2\right)^2\)

Câu 7:

\(\left(a-x\right)y^3-\left(a-y\right)x^3+\left(x-y\right)a^3\)

\(=a\cdot y^3-xy^3-a\cdot x^3+y\cdot x^3+\left(x-y\right)\cdot a^3\)

\(=a\left(y^3-x^3\right)-xy\left(y^2-x^2\right)+\left(x-y\right)a^3\)

\(=a\left(y-x\right)\left(y^2+xy+x^2\right)-xy\left(y-x\right)\left(y+x\right)-\left(y-x\right)a^3\)

\(=\left(y-x\right)\left[a\left(x^2+xy+y^2\right)-xy\left(x+y\right)-a^3\right]\)

\(\left(x+y\right)^2-2\left(x+y\right)+1\)

\(=\left(x+y-1\right)^2\) (HĐT số 2)

\(a+b+c=\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\)

\(\Rightarrow a+b+c=\dfrac{ab+bc+ca}{abc}=ab+bc+ca\)

\(\Rightarrow a+b+c+\left(abc-1\right)=ab+bc+ca\) (do \(abc-1=0\) nên có thể thêm bớt)

\(\Rightarrow abc-ab-bc-ca+a+b+c-1=0\)

\(\Rightarrow ab\left(c-1\right)-b\left(c-1\right)-a\left(c-1\right)+c-1=0\)

\(\Rightarrow\left(c-1\right)\left(ab-b-a+1\right)=0\)

\(\Rightarrow\left(c-1\right)\left[b\left(a-1\right)-\left(a-1\right)\right]=0\)

\(\Rightarrow\left(c-1\right)\left(a-1\right)\left(b-1\right)=0\) (đpcm)

a: Ta có: \(BF=FC=\dfrac{BC}{2}\)

\(AE=ED=\dfrac{AD}{2}\)

mà BC=AD

nên BF=FC=AE=ED

Xét tứ giác BFDE có

BF//DE

BF=DE

Do đó: BFDE là hình bình hành

=>EB=DF(3)

b: Ta có: BFDE là hình bình hành

=>BD cắt FE tại trung điểm của mỗi đường

mà O là trung điểm của FE

nên O là trung điểm của BD

Ta có: ABCD là hình bình hành

=>AC cắt BD tại trung điểm của mỗi đường

mà O là trung điểm của BD

nên O là trung điểm của AC

=>AC,BD,EF đồng quy tại O

c: Xét ΔABD có

BE,AO là các đường trung tuyến

BE cắt AO tại I

Do đó: I là trọng tâm của ΔABD

=>\(BI=\dfrac{2}{3}BE\left(1\right)\)

Xét ΔDBC có

DF,CO là các đường trung tuyến

DF cắt CO tại K

Do đó: K là trọng tâm của ΔDBC

=>\(DK=\dfrac{2}{3}DF\left(2\right)\)

Từ (1),(2),(3) suy ra BI=DK

Xét tứ giác BIDK có

BI//DK

BI=DK

Do đó: BIDK là hình bình hành

=>BK=DI

Xét ΔBCI có

F là trung điểm của CB

FK//BI

Do đó: K là trung điểm của CI

=>CK=KI

Xét ΔAKD có

E là trung điểm của AD

EI//KD

Do đó: I là trung điểm của AK

=>AI=IK

Do đó: AI=IK=KC

\(499^2+499+500\)

\(=499^2+499+\left(499+1\right)\)

\(=499^2+2.499+1\)

\(=\left(499+1\right)^2\)

\(=500^2\)

\(=2500\)

\(499^2+499+500\)

\(=\left(500-1\right)^2+\left(500-1\right)+500\)

\(=500^2-2.100+1+500-1+500\)

\(=500^2=2500\)

\(5y-7\) chia hết \(3-2y\)

\(\Rightarrow2\left(5y-7\right)⋮\left(3-2y\right)\)

\(\Rightarrow1-5\left(3-2y\right)⋮\left(3-2y\right)\)

\(\Rightarrow1⋮\left(3-2y\right)\)

\(\Rightarrow3-2y\inƯ\left(1\right)=\left\{-1;1\right\}\)

\(\Rightarrow y\in\left\{2;1\right\}\)

Do `y ∈ Z => {(5y - 7  ∈ Z),(3-2y ∈ Z):}`

Điều kiện: `3 - 2y ne 0 => 2y ne 3 => y ne 3/2 `

`5y - 7 vdots 3 - 2y`

`=> 10y - 14 vdots 3 - 2y`

Do `3 - 2y vdots 3 - 2y => 15 - 10y vdots 3 - 2y`

`=> 10y - 14 + 15 - 10y vdots 3 - 2y`

`=> 1 vdots 3 - 2y`

`=> 3 - 2y ∈ Ư(1) = {-1;1}`

`=> 2y ∈ {4;2}`

`=> y ∈ {2;1}` (Thỏa mãn)

Vậy `y ∈ {2;1}`