Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Lời giải:
Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:
$(x^2+1)[1+(y+z)^2]\geq (x+y+z)^2$
$\Rightarrow \frac{3}{4}(x^2+1)[1+(y+z)^2]\geq \frac{3}{4}(x+y+z)^2$
Giờ ta chỉ cần cm:
$(y^2+1)(z^2+1)\geq \frac{3}{4}[1+(y+z)^2]$
$\Leftrightarrow 4(y^2z^2+y^2+z^2+1)\geq 3(y^2+z^2+2yz+1)$
$\Leftrightarrow 4y^2z^2+1+y^2+z^2-6yz\geq 0$
$\Leftrightarrow (2yz-1)^2+(y-z)^2\geq 0$ (luôn đúng)
Do đó ta có đpcm
Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:
Giờ ta chỉ cần cm:
(luôn đúng)
Do đó ta có điều phải chứng minh
a: Xét tứ giác ADHE có \(\widehat{ADH}=\widehat{AEH}=\widehat{DAE}=90^0\)
nên ADHE là hình chữ nhật
b: Ta có: ADHE là hình chữ nhật
=>HD//AE và HD=AE
Ta có: HD//AE
F\(\in\)HD
Do đó: DF//AE
Ta có: HD=AE
HD=DF
Do đó: AE=DF
Xét tứ giác AEDF có
AE//DF
AE=DF
Do đó: AEDF là hình bình hành
c: Ta có: ΔABC vuông tại A
mà AM là đường trung tuyến
nên MA=MC
=>\(\widehat{MAC}=\widehat{ACB}\)
Ta có: ADHE là hình chữ nhật
=>\(\widehat{AED}=\widehat{AHD}\)
mà \(\widehat{AHD}=\widehat{ABC}\left(=90^0-\widehat{HAB}\right)\)
nên \(\widehat{AED}=\widehat{ABC}\)
\(\widehat{AED}+\widehat{MAC}=\widehat{ABC}+\widehat{ACB}=90^0\)
=>ED\(\perp\)AM
mà ED//AF
nên AM\(\perp\)AF
Bài 3
Gọi x (km) là độ dài quãng đường AB (x > 0)
Thời gian dự định đi hết quãng đường AB: x/45 (giờ)
Thời gian đi nửa quãng đường đầu: x/2 : 45 = x/90 (h)
Thời gian đi nửa quãng đường sau: x/2 : 50 = x/100 (h)
20 phút = 1/3 h
8 phút = 2/15 h
Theo đề bài ta có phương trình:
x/45 - x/100 - x/90 - 1/3 = -2/15
x/45 - x/100 - x/90 = -2/15 + 1/3
x/45 - x/100 - x/90 = 1/5
20x - 9x - 10x = 180
x = 180 (nhận)
Vậy quãng đường AB dài 180 km
Gọi x (km) là độ dài quãng đường AB (x > 0)
Vận tốc thực của ca nô khi đi xuôi dòng: 30 - 3 = 27 (km/h)
Vận tốc thực của ca nô khi đi ngược dòng: 27 - 3 = 24 (km/h)
Thời gian khi đi xuôi dòng: x/30 (h)
Thời gian khi đi ngược dòng: x/24 (h)
40 phút = 2/3 h
Theo đề bài ta có phương trình:
x/24 - x/30 = 2/3
5x - 4x = 80
x = 80 (nhận)
Vậy quãng đường AB dài 80 km
Ta có: \(x+y+z=1\Rightarrow z=1-x-y\)
Khi đó: \(xy+z=xy+1-x-y\)
\(=x\left(y-1\right)-\left(y-1\right)=\left(x-1\right)\left(y-1\right)\) (1)
Tương tự, ta cũng có: \(\left\{{}\begin{matrix}yz+x=\left(y-1\right)\left(z-1\right)\\zx+y=\left(z-1\right)\left(x-1\right)\end{matrix}\right.\) (2)
Lại có: \(x+y+z=1\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+y=1-z\\y+z=1-x\\z+x=1-y\end{matrix}\right.\) (3)
Thay (1); (2) và (3) vào \(T\), ta được:
\(T=\dfrac{\left[\left(x-1\right)\left(y-1\right)\right]\left[\left(y-1\right)\left(z-1\right)\right]\left[\left(z-1\right)\left(x-1\right)\right]}{\left(1-z\right)^2\left(1-x\right)^2\left(1-y\right)^2}\)
\(=\dfrac{\left(x-1\right)^2\left(y-1\right)^2\left(z-1\right)^2}{\left(x-1\right)^2\left(y-1\right)^2\left(z-1\right)^2}=1\)
Vậy \(T=1\).
a: Xét ΔHBA vuông tại H và ΔHCB vuông tại H có
\(\widehat{HBA}=\widehat{HCB}\left(=90^0-\widehat{HAB}\right)\)
Do đó: ΔHBA~ΔHCB
=>\(\dfrac{HB}{HC}=\dfrac{HA}{HB}\)
=>\(HB^2=HA\cdot HC\)
b: Ta có: HM\(\perp\)BA
BC\(\perp\)BA
Do đó: HM//BC
Xét ΔAMH vuông tại M và ΔHNC vuông tại N có
\(\widehat{MHA}=\widehat{NCH}\)(hai góc đồng vị, MH//BC)
Do đó: ΔAMH~ΔHNC
c: Xét tứ giác BMHN có \(\widehat{BMH}=\widehat{BNH}=\widehat{MBN}=90^0\)
nên BMHN là hình chữ nhật
=>\(\widehat{NMH}=\widehat{NBH}\)
mà \(\widehat{NBH}=\widehat{BAC}\left(=90^0-\widehat{C}\right)\)
nên \(\widehat{NMH}=\widehat{BAC}\)
Ta có: BMHN là hình chữ nhật
=>\(\widehat{MNH}=\widehat{MBH}\)
mà \(\widehat{MBH}=\widehat{C}\left(=90^0-\widehat{A}\right)\)
nên \(\widehat{MNH}=\widehat{C}\)
Ta có: ΔCHN vuông tại N
mà NI là đường trung tuyến
nên IN=IH
=>ΔINH cân tại I
=>\(\widehat{INH}=\widehat{IHN}\)
mà \(\widehat{IHN}=\widehat{A}\)(hai góc đồng vị, NH//AB)
nên \(\widehat{INH}=\widehat{A}\)
Ta có: ΔHMA vuông tại M
mà MK là đường trung tuyến
nên KH=KM
=>ΔKHM cân tại K
=>\(\widehat{KMH}=\widehat{KHM}\)
mà \(\widehat{KHM}=\widehat{C}\)(hai góc đồng vị, MH//BC)
nên \(\widehat{KMH}=\widehat{C}\)
\(\widehat{INM}=\widehat{INH}+\widehat{MNH}=\widehat{C}+\widehat{A}=90^0\)
=>IN\(\perp\)NM(1)
\(\widehat{KMN}=\widehat{KMH}+\widehat{NMH}=\widehat{C}+\widehat{A}=90^0\)
=>NM\(\perp\)MK(2)
Từ (1),(2) suy ra MK//NI
Xét tứ giác KMNI có MK//NI
nên KMNI là hình thang
Hình thang KMNI có IN\(\perp\)NM
nên KMNI là hình thang vuông
a: Xét ΔABC có DE//BC
nên \(\dfrac{DE}{BC}=\dfrac{AD}{AB}\)
=>\(\dfrac{DE}{8}=\dfrac{2}{5}\)
=>\(DE=8\cdot\dfrac{2}{5}=3,2\left(cm\right)\)
b: Xét tứ giác BDFC có
BD//FC
DF//BC
Do đó: BDFC là hình bình hành
=>DF=BC=8cm
DE+EF=DF
=>EF+3,2=8
=>EF=4,8(cm)
Xét ΔIFE và ΔIBC có
\(\widehat{IFE}=\widehat{IBC}\)(hai góc so le trong, FE//BC)
\(\widehat{FIE}=\widehat{BIC}\)(hai góc đối đỉnh)
Do đó: ΔIFE~ΔIBC
=>\(\dfrac{IF}{IB}=\dfrac{IE}{IC}=\dfrac{FE}{BC}\)
=>\(\dfrac{IF}{IB}=\dfrac{4.8}{8}=\dfrac{3}{5}\)
c: Xét ΔIFC và ΔIBA có
\(\widehat{IFC}=\widehat{IBA}\)(hai góc so le trong, FC//BA)
\(\widehat{FIC}=\widehat{BIA}\)(hai góc đối đỉnh)
Do đó: ΔIFC~ΔIBA
=>\(\dfrac{IF}{IB}=\dfrac{IC}{IA}\)
=>\(\dfrac{IC}{IA}=\dfrac{IE}{IC}\)
=>\(IC^2=IE\cdot IA\)
Gọi độ dài của quãng đường AB là: \(x\left(km\right)\)
ĐK: \(x>0\)
Tổng vận tốc khi đi và về là: \(2\cdot40=80\left(km\right)\)
Vận tốc về là: \(\left(80+5\right):2=\dfrac{85}{2}\left(km/h\right)\)
Vận tốc đi là: \(\left(80-5\right):2=\dfrac{75}{2}\left(km/h\right)\)
Thời gian về là: \(x:\dfrac{85}{2}=\dfrac{2x}{85}\left(h\right)\)
Thời gian đi là: \(x:\dfrac{75}{2}=\dfrac{2x}{75}\left(h\right)\)
Thời gian về ít hơn thời gian đi 40p nên ta có pt:
\(\dfrac{2x}{75}-\dfrac{2x}{85}=\dfrac{40}{60}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{34x}{1275}-\dfrac{30x}{1275}=\dfrac{850}{1275}\)
\(\Leftrightarrow34x-30x=850\)
\(\Leftrightarrow4x=850\)
\(\Leftrightarrow x=\dfrac{425}{2}\left(tm\right)\)
Vậy: ....
Gọi x (km) là độ dài quãng đường AB (x > 0)
Thời gian đi từ A đến B: x/40 (h)
Thời gian đi từ B về A: x/45 (h)
40 phút = 2/3 h
Theo đề bài ta có phương trình:
x/40 - x/45 = 2/3
9x - 8x = 240
x = 240 (nhận)
Vậy quãng đường AB dài 240 km
Gọi diện tích rừng phải trồng theo kế hoạch là x(ha)
(ĐIều kiện: x>0)
Diện tích rừng trồng được trong thực tế là x+5(ha)
Thời gian dự kiến hoàn thành công việc là \(\dfrac{x}{15}\left(ngày\right)\)
Thời gian thực tế hoàn thành công việc là \(\dfrac{x+5}{20}\left(ngày\right)\)
Vì công việc hoàn thành trước 1 tuần=7 ngày nên ta có:
\(\dfrac{x}{15}-\dfrac{x+5}{20}=7\)
=>\(\dfrac{4x-3\left(x+5\right)}{60}=7\)
=>4x-3(x+5)=420
=>x-15=420
=>x=435(nhận)
Vậy: Diện tích rừng phải trồng là 435ha
Bài 2:
a; 10\(x\) - 12 = 3\(x\) + 6 + \(x\)
10\(x\) - 3\(x\) - \(x\) = 12 + 6
6\(x\) = 18
\(x\) = 18: 6
\(x\) = 3
Vậy \(x\) = 3
b; \(\dfrac{x-2}{4}\) - \(\dfrac{x}{12}\) = \(\dfrac{x-1}{6}\) - \(\dfrac{1}{3}\)
3.(\(x-2\)) - \(x\) = 2.(\(x-1\)) - 4
3\(x\) - 6 - \(x\) = 2\(x\) - 2 - 4
3\(x\) - \(x\) - 2\(x\) = 6 - 2 - 4
0 \(\times\) \(x\) = 0 \(\forall\) \(x\)
vậy \(x\) \(\in\) R
c; (\(x+1\))(2\(x\) - 3) = (2\(x\) - 1).(\(x+5\))
2\(x^2\) - 3\(x\) + 2\(x\) - 3 = 2\(x^2\) + 10\(x\) - \(x\) - 5
2\(x^2\) - 3\(x\) + 2\(x\) - 3 - 2\(x^2\) - 10\(x\) + \(x\) + 5 = 0
(2\(x^2\) - 2\(x^2\)) + (- 3\(x\) + 2\(x\) - 10\(x\) + \(x\)) + (5 - 3) = 0
0 - 10\(x\) + 2 = 0
10\(x\) = 2
\(x\) = \(\dfrac{2}{10}\)
\(x=\dfrac{1}{5}\)
Vậy \(x=\dfrac{1}{5}\)
Câu 17:
a: ΔBAC vuông tại A
=>\(BC^2=AB^2+AC^2\)
=>\(BC^2=6^2+8^2=100=10^2\)
=>BC=10(cm)
Xét ΔABC có AD là phân giác
nên \(\dfrac{DB}{AB}=\dfrac{DC}{AC}\)
=>\(\dfrac{DB}{6}=\dfrac{DC}{8}\)
=>\(\dfrac{DB}{3}=\dfrac{DC}{4}\)
mà DB+DC=BC=10cm
nên Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta được:
\(\dfrac{DB}{3}=\dfrac{DC}{4}=\dfrac{DB+DC}{3+4}=\dfrac{10}{7}\)
=>\(DB=3\cdot\dfrac{10}{7}=\dfrac{30}{7}\left(cm\right);DC=4\cdot\dfrac{10}{7}=\dfrac{40}{7}\left(cm\right)\)
b: Kẻ DH\(\perp\)AC
=>DH là khoảng cách từ D xuống AC
Ta có: DH\(\perp\)AC
AB\(\perp\)AC
Do đó: DH//AB
Xét ΔBAC có DH//AB
nên \(\dfrac{CD}{CB}=\dfrac{DH}{AB}\)
=>\(\dfrac{DH}{6}=\dfrac{80}{7}:20=\dfrac{4}{7}\)
=>\(DH=\dfrac{4}{7}\cdot6=\dfrac{24}{7}\left(cm\right)\)
Câu 16:
\(\Omega=\left\{10;11;...;29\right\}\)
=>\(n\left(\Omega\right)=29-10+1=30-10=20\)
Gọi A là biến cố: "Số viết được là số có hai chữ số giống nhau"
=>A={22;33}
=>n(A)=2
=>\(P\left(A\right)=\dfrac{2}{30}=\dfrac{1}{15}\)