\(\frac{x-2}{x+1}>1\left(đkxđ:x\ne-1\right)\)

<=> \(\frac{x-2}{x+1}-1>0\)

<=> \(\frac{x-2}{x+1}-\frac{x-1}{x+1}>0\)

<=> \(\frac{-3}{x+1}>0\)

Để \(\frac{-3}{x+1}>0\)=> \(x+1< 0\)<=> \(x< -1\left(tmđk\right)\)

Vậy nghiệm của bất phương trình là x < -1

\(\frac{3x-3}{x-1}\le2\left(đkxđ:x\ne1\right)\)

Rút gọn vế trái ta được : \(3\le2\)( vô lí )

Vậy bất phương trình vô nghiệm

Ta dễ dàng nhận thấy : 

\(\left(\frac{x+1}{y}\right)^2\ge0\)

\(\left(\frac{y+1}{x}\right)^2\ge0\)

Cộng theo vế ta được : 

\(\left(\frac{x+1}{y}\right)^2+\left(\frac{y+1}{x}\right)^2\ge0\)

Dấu = xảy ra khi và chỉ khi \(x=y=-1\)

Vậy \(Min_S=0\)khi \(x=y=-1\)

dcv_new : sai rồi nhé 
\(S=x^2+\frac{1}{y^2}+\frac{2x}{y}+y^2+\frac{1}{x^2}+\frac{2y}{x}\)

\(\ge4+\frac{4}{x^2+y^2}+2\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)\)

\(=5+4=9\)

Đẳng thức xảy ra tại x=y=\(\sqrt{2}\)

Áp dụng bđt cauchy schwarz dạng engel ta có :

\(VP=\frac{x^2}{1}+\frac{y^2}{1}+\frac{z^2}{1}\le\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}=3\)

Dấu = xảy ra khi và chỉ khi \(x=y=z=1\)

Vậy \(Max_S=3\)khi \(x=y=z=1\)

Ta có \(-1\le x,y,z\le2\Leftrightarrow\left(x+1\right)\left(x-2\right)\le0\Leftrightarrow x^2-x-2\le0\left(1\right)\)

Tương tự ta có: \(\hept{\begin{cases}y^2-y-2\le0\left(2\right)\\z^2-z-2\le0\left(3\right)\end{cases}}\)

Cộng từng vế (1)(2)(3) và do x+y+z=0 nên P\(\le6\left(4\right)\)

Từ hệ \(\hept{\begin{cases}\left(x+1\right)\left(x-2\right)=0\\\left(y+1\right)\left(y-2\right)=0\\\left(z+1\right)\left(z-2\right)=0\end{cases}}\)và x+y+z=2

=> trong 3 số x,y,z có một trong 2 số bằng 2 và hai số bằng -1

Vì thế chẳng hạn khi x=2; y=z=-1 (lúc đó x+y+z=0) ta có P=6

Vậy maxP=6

Áp dụng bđt svacxo :

\(\frac{x^2}{x+y}+\frac{y^2}{y+z}+\frac{z^2}{z+x}\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{2\left(x+y+z\right)}=\frac{1}{2}\)

Dấu = xảy ra khi và chỉ khi \(x=y=z=\frac{1}{3}\)

Vậy \(Min_S=\frac{1}{2}\)khi \(x=y=z=\frac{1}{3}\)

Bài làm:

Áp dụng bất đẳng thức Svac-xơ ta có:

\(S=\frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{x+z}+\frac{z^2}{x+y}\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{2\left(x+y+z\right)}=\frac{1^2}{2.1}=\frac{1}{2}\)

Dấu "=" xảy ra khi: \(\frac{x}{y+z}=\frac{y}{x+z}=\frac{z}{y+x}\Rightarrow x=y=z=1\)

Vậy Min(S)=1 khi \(x=y=z=1\)

Học tốt!!!!

Bài làm:

\(8x^3+4x^2-9x+30=8x^3+16x^2-12x^2-24x+15x+30\)

\(=8x^2\left(x+2\right)-12x\left(x+2\right)+15\left(x+2\right)\)

\(=\left(x+2\right)\left(8x^2-12x+15\right)\)

\(8x^3+4x^2-9x+30\)

\(=8x^3+16x^2-12x^2-24x+15x+30\)

\(=8x^2\cdot\left(x+2\right)-12x\cdot\left(x+2\right)+15x\cdot\left(x+2\right)\)

\(=\left(x+2\right)\cdot\left(8x^2-12x+15\right)\)

a, 47²⁰¹⁴ - 47²⁰¹³ = 47²⁰¹³ . (47 - 1) = 47²⁰¹³ . 46 = 47²⁰¹³ . 2 . 23  ⋮ 23

Vậy 47²⁰¹⁴ - 47²⁰¹³  ⋮ 23

b, 54²⁰¹⁴ + 54²⁰¹⁵ = 54²⁰¹⁴ . (1 + 54) = 54²⁰¹⁴ . 55 = 54²⁰¹⁴ . 5 .11  ⋮ 11

Vậy 54²⁰¹⁴ + 54²⁰¹⁵  ⋮ 11

c, 27³ + 9⁵ = (3³)³ + (3²)⁵ = 3⁹ + 3¹⁰ = 3⁹ . (1 + 3) =  3⁹ . 4 ⋮ 4

Vậy  27³ + 9⁵ ⋮ 4

d, a(2a - 3) - 2a(a + 1) = 2a² - 3a - 2a² - 2a = -5a = (-1) . 5 . a ⋮ 5

Vậy a(2a - 3) - 2a(a + 1) ⋮ 5 với mọi a nguyên

            Bài làm :

a) 47²⁰¹⁴ - 47²⁰¹³ = 47²⁰¹³ . (47 - 1) = 47²⁰¹³ . 46 = 47²⁰¹³ . 2 . 23  ⋮ 23

=> Điều phải chứng minh

b) 54²⁰¹⁴ + 54²⁰¹⁵ = 54²⁰¹⁴ . (1 + 54) = 54²⁰¹⁴ . 55 = 54²⁰¹⁴ . 5 .11  ⋮ 11

=> Điều phải chứng minh

c) 27³ + 9⁵ = (3³)³ + (3²)⁵ = 3⁹ + 3¹⁰ = 3⁹ . (1 + 3) =  3⁹ . 4 ⋮ 4

=> Điều phải chứng minh

d) a(2a - 3) - 2a(a + 1) = 2a² - 3a - 2a² - 2a = -5a = (-1) . 5 . a ⋮ 5

=> Điều phải chứng minh