Ta có: \(x^2-y^2=100.110^{2n}\)

<=> \(\left(x-y\right)\left(x+y\right)=\left(10\right)^2.11^{2n}.10^{2n}\)là số chẵn

=> x - y; x + y cùng chẵn

Đặt: 2a = x - y; 2b = x + y (b>a >0) 

Khi đó: \(2a.2b=5^{2n+2}.11^{2n}.2^{2n+2}\)

<=> \(ab=5^{2n+2}.11^{2n}.2^{2n}\)

=> a là ước nguyên dương của \(5^{2n+2}.11^{2n}.2^{2n}\)

=> a có dạng \(a=5^s.11^t.2^r\) với: \(0\le s\le2n+2;0\le t\le2n;0\le r\le2n\)

Ta có:  s có 2n + 3 cách chọn;  t có 2n +1 cách chọn; r có 2n + 1 cách chọn 

Vì s, t, r độc lập nên a có: (2n + 3)(2n + 1)( 2n +1 ) cách chọn.

Với mỗi cách chọn a có một cách chọn b => có: \(\left(2n+3\right)\left(2n+1\right)^2\) ngiệm (a;b) 

Tuy nhiên chú ý: b > a> 0 và trong các cặp nghiệm (a; b ) trên có một cặp nghiệm thỏa mãn a = b.

Nên số nghiệm (a;b) thỏa mãn  b> a> 0 là \(\frac{\left(2n+3\right)\left(2n+1\right)^2-1}{2}\)

Và với mỗi nghiệm (a;b) thỏa mãn đk : b > a> 0 thì  có 1 cặp nghiệm (x;y)

=> Số nghiệm nguyên của phương trình ban đầu là: \(\frac{\left(2n+3\right)\left(2n+1\right)^2-1}{2}=\frac{\left(2n+2\right)\left(2n+1\right)^2+\left(2n+1\right)^2-1}{2}\)

\(=\left(n+1\right)\left(2n+1\right)^2+2n\left(n+1\right)=\left(n+1\right)\left(4n^2+6n+1\right)\)(1) ( với n nguyên dương )

Nhận xét: \(\left(4n^2+6n+1;n+1\right)=1\)(2)

Chứng minh: Thật vậy: Đặt: \(\left(4n^2+6n+1;n+1\right)=d\)

Khi đó: \(4n^2+6n+1-4\left(n+1\right)^2⋮d\)

=> \(-2n-3⋮d\)

=> \(\left(-2n-3\right)+2\left(n+1\right)⋮d\)

=> \(-1⋮d\)

=> d = 1

Từ (1); (2)  số nghiệm nguyên (x; y) là số chính phương  <=> \(4n^2+6n+1\)và n +1 đồng thời là hai số chính phương với mọi n nguyên dương 

Mà: 

\(4n^2+4n+1< 4n^2+6n+1< 4n^2+8n+4\)với mọi số nguyên dương n

=> \(\left(2n+1\right)^2< 4n^2+6n+1< \left(2n+2\right)^2\)

=>   \(4n^2+6n+1\)không là số chính phương

Vậy nên số ngiệm phương trình không phải là số chính phương.

gái xinh

Đặt \(a=\sqrt{3+\sqrt{3+\sqrt{3+...+\sqrt{3}}}}< 3\)

\(\Rightarrow A=\frac{a^2}{6a}\)

Ta cần chứng minh:

\(A=\frac{a^2}{6a}< \frac{1}{2}\)

\(\Leftrightarrow2a^2-6a< 0\)

\(\Leftrightarrow a\left(a-3\right)< 0\)(đúng)

Vậy \(A< \frac{1}{2}\)

Tao nứng cặc quá, cho tao đút zô lồn mày được ko ?

cho tao bóp vú mày đi 

\(\frac{\Sigma_{cyc}a^3\left(b-c\right)}{\Sigma_{cyc}a^2\left(b-c\right)}=\frac{-\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)\left(a+b+c\right)}{-\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)}=a+b+c\ge3\sqrt[3]{abc}\)

Phùng Minh Quân BĐT cuối: \(a+b+c\ge3\sqrt[3]{abc}\) xảy ra khi a = b = c thì cái mẫu thức: \(\Sigma_{cyc}a^2\left(b-c\right)=0\) vô lí!

\(ĐKXĐ:\frac{-1}{4}\le x\le3\)

\(PT\Leftrightarrow3x+14-6\sqrt{4x+1}-2\sqrt{3-x}=0\)

\(\Leftrightarrow\left(4x+1\right)-2.3\sqrt{4x+1}+9+\left(3-x\right)-3\sqrt{3-x}+1=0\)

\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{4x+1}-3\right)^2+\left(\sqrt{3-x}-1\right)^2=0\)(1)

Mà \(\left(\sqrt{4x+1}-3\right)^2\ge0\forall x\);\(\left(\sqrt{3-x}-1\right)^2\ge0\forall x\)

\(\Rightarrow\)(1) xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}\sqrt{4x+1}=3\\\sqrt{3-x}=1\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}4x+1=9\\3-x=1\end{cases}}\Rightarrow x=2\left(tmđk\right)\)

Vậy nghiệm duy nhất của phương trình là 2

\(6\sqrt[]{4x+1}+2\sqrt[]{3-x}=3x+14\)