Giải phương trình:
\(x^2+\sqrt{x+5}=5\)
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(\hept{\begin{cases}x^2+y+x^3y+xy^2+xy=\frac{-5}{4}\\x^4+y^2+xy\left(1+2x\right)=\frac{-5}{4}\end{cases}}\)
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x^2+y+x^3y+xy^2+xy=\frac{-5}{4}\\x^4+2x^2y+y^2+xy=\frac{-5}{4}\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x^2+y+xy\left(x^2+y\right)+xy=\frac{-5}{4}\left(1\right)\\\left(x^2+y\right)^2+xy=\frac{-5}{4}\left(2\right)\end{cases}}}\)
Đặt x2 + y = a ; xy = b
Khi đó hệ phương trình trở thành : \(\hept{\begin{cases}a+ab+b=\frac{-5}{4}\\a^2+b=\frac{-5}{4}\end{cases}}\)\(\Leftrightarrow a+ab-a^2=0\)
\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}a=0\\b-a+1=0\end{cases}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x^2+y=0\\xy-\left(x^2+y\right)+1=0\end{cases}\Leftrightarrow}\orbr{\begin{cases}y=-x^2\\x^2+y=xy+1\end{cases}}}\)
với y = -x2 thay vào ( 2 ), ta có : x . ( -x2 ) = \(\frac{-5}{4}\)\(\Rightarrow x=\sqrt[3]{\frac{5}{4}}\Rightarrow y=-\sqrt[3]{\frac{25}{16}}\)
với x2 + y = xy + 1 \(\Leftrightarrow\left(x^2-1\right)-\left(xy-y\right)=0\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(x+1-y\right)=0\)
\(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}x=1\\x=y-1\end{cases}}\)từ đó suy ra \(y=\frac{-3}{2}\)
Vậy ....
xem lại dấu ở PT thứ 2
ĐK : ...
\(\hept{\begin{cases}2+6y=\frac{x}{y}-\sqrt{x-2y}\left(1\right)\\\sqrt{x+\sqrt{x-2y}}=x+3y-2\left(2\right)\end{cases}}\)
Ta có : ( 1 ) \(\Leftrightarrow2y+6y^2=x-y\sqrt{x-2y}\Leftrightarrow x-2y-y\sqrt{x-2y}-6y^2=0\)
\(\Leftrightarrow\left(\frac{\sqrt{x-2y}}{y}\right)^2-\frac{\sqrt{x-2y}}{y}-6=0\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}\frac{\sqrt{x-2y}}{y}=3\\\frac{\sqrt{x-2y}}{y}=-2\end{cases}}\)
-Với \(\frac{\sqrt{x-2y}}{y}=3\Rightarrow\sqrt{x-2y}=3y\). Thay vào ( 2 ), ta có :
\(\sqrt{x+3y}=x+3y-2\Rightarrow\left(x+3y\right)-\sqrt{x+3y}-2=0\Rightarrow\orbr{\begin{cases}\sqrt{x+3y}=2\\\sqrt{x+3y}=-1\left(loai\right)\end{cases}}\)
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x+3y=4\\\sqrt{x-2y}=3y\end{cases}}\Leftrightarrow....\)
-Với \(\frac{\sqrt{x-2y}}{y}=-2\Rightarrow\sqrt{x-2y}=-2y\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\sqrt{x-2y}=x+3y-2\\\sqrt{x-2y}=-2y\end{cases}\Leftrightarrow....}\)
Vậy ....
Ta có : \(A=x^2+y^2+\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+2\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)\)
\(A=4+\frac{x^2+y^2}{x^2y^2}+\frac{2.\left(x^2+y^2\right)}{xy}=4+\frac{4}{x^2y^2}+\frac{8}{xy}\)
\(A=4\left(\frac{1}{xy}+1\right)^2\)
Mặt khác : \(xy\le\frac{x^2+y^2}{2}=2\Rightarrow\frac{1}{xy}\ge\frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow A\ge4\left(\frac{1}{2}+1\right)^2=9\)
Vậy Min A = 9 khi x = y = \(\sqrt{2}\)
\(\hept{\begin{cases}2x^2+3xy+2x+y=0\left(1\right)\\x^2+2xy+2y^2+3x=0\left(2\right)\end{cases}}\)
PT(1) - PT(2), ta được : \(x^2+xy-x+y-2y^2=0\Leftrightarrow\left(x^2-y^2\right)+\left(xy-x\right)-\left(y^2-y\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)\left(x+y\right)+x\left(y-1\right)-y\left(y-1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)\left(x+y\right)+\left(x-y\right)\left(y-1\right)=0\Leftrightarrow\left(x-y\right)\left(x+2y-1\right)=0\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=y\\x=1-2y\end{cases}}\)
cứ thế mà giải , đến đây dễ rồi
hình tự vẽ nha
Xét tam giác ABC nội tiếp ( O ) đường kính BC nên vuông tại A \(\Rightarrow AC\perp AB\) ( 1 )
Theo tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau \(\Rightarrow\)SA = SB và SO là tia phân giác tam giác SAB
\(\Rightarrow\)\(\Delta SAB\)cân tại S có SO là đường phân giác nên cũng là đường cao \(\Rightarrow\)\(SO\perp AB\) ( 2 )
Từ ( 1 ) và ( 2 ) suy ra SO // AC
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy
\(\Rightarrow VT\ge3\sqrt[6]{\frac{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}{\left(c+ab\right)\left(a+bc\right)\left(b+ac\right)}}\)
Chứng minh : \(3\sqrt[6]{\frac{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}{\left(c+ab\right)\left(a+bc\right)\left(b+ac\right)}}\ge3\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\ge\left(c+ab\right)\left(a+bc\right)\left(b+ac\right)\)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy
\(\Rightarrow\left(c+ab\right)\left(a+bc\right)\le\frac{\left(c+a+ab+bc\right)^2}{4}\)
\(=\frac{\left[b\left(a+c\right)+c+a\right]^2}{4}=\frac{\left(b+1\right)^2\left(c+a\right)^2}{4}\)
Thiết lập tương tự và thu lại ta có :
\(\Rightarrow\left(c+ab\right)^2\left(a+bc\right)^2\left(b+ac\right)^2\)
\(\le\frac{\left(a+b\right)^2\left(b+c\right)^2\left(c+a^2\right)\left(b+1\right)^2\left(a+1\right)^2\left(c+1\right)^2}{64}\)
\(\Rightarrow64\left(c+ab\right)^2\left(a+bc\right)^2\left(b+ac\right)^2\)
\(\le\left(a+b\right)^2\left(b+c\right)^2\left(c+a\right)^2\left(b+1\right)^2\left(c+1\right)^2\left(a+1\right)^2\)
\(\Leftrightarrow8\left(c+ab\right)\left(a+bc\right)\left(b+ac\right)\)
\(\le\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)\left(a+1\right)\)
Cần chứng minh :
\(\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)\le8\)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy
\(\Rightarrow\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)\le\left(\frac{3+3}{3}\right)^3=8\left(đpcm\right)\)
Chúc bạn học tốt !!!!
Bạn tham khảo tại đây:
Câu hỏi của Phạm Tuấn Kiệt - Toán lớp 9 - Học toán với OnlineMath
\(\sqrt{x+5}=5-x^2\)
\(\sqrt{x+5}=\left(\sqrt{x}+5\right).\left(\sqrt{x}-5\right)\)
\(\sqrt{x}-5=1\)
\(\sqrt{x}=6\)
x=36
\(x^2+\sqrt{x+5}=5\)
\(ĐKXĐ:x\ge-5\)
Đặt \(\sqrt{x+5}=a\left(a\ge0\right)\)
Ta có hpt:\(\hept{\begin{cases}x^2+a=5\\a^2-x=5\end{cases}}\)
\(\Leftrightarrow x^2-a^2+a+x=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+x\right)\left(x-a+1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}a=-x\\x=a-1\end{cases}}\)(Lm tiếp nha bn)