\(\dfrac{bc}{a^2+3}=\dfrac{bc}{a^2+b^2+a^2+c^2}\le\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{\left(b+c\right)^2}{a^2+b^2+a^2+c^2}\right)\le\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{b^2}{a^2+b^2}+\dfrac{c^2}{a^2+c^2}\right)\)

Tương tự ta có: 

\(\dfrac{ca}{b^2+3}\le\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{c^2}{b^2+c^2}+\dfrac{a^2}{a^2+b^2}\right)\)

\(\dfrac{ab}{c^2+3}\le\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{a^2}{a^2+c^2}+\dfrac{b^2}{b^2+c^2}\right)\)

Cộng vế:

\(A\le\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{a^2}{a^2+b^2}+\dfrac{b^2}{a^2+b^2}+\dfrac{b^2}{b^2+c^2}+\dfrac{c^2}{b^2+c^2}+\dfrac{a^2}{a^2+c^2}+\dfrac{c^2}{a^2+c^2}\right)=\dfrac{3}{4}\)

\(A_{max}=\dfrac{3}{4}\) khi \(a=b=c=1\)

b.

\(B=\left(x-y^2\right)+x^2+4y^2+5\ge5\)

Dấu "=" xảy ra khi \(\left\{{}\begin{matrix}\left(x-y\right)^2=0\\x^2=0\\y^2=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow x=y=0\)

hinh̀ như khoang̉ là 5

A = 6⁸.10³.8².25⁵

A = 2⁸.3⁸.10³.2⁶.5¹⁰

A = 2¹⁴.5¹⁰.10³.3⁸

A = (2.5)¹⁰.2⁴.10³.3⁸

A = 10¹⁰.2⁴.10³.3⁸

A = 10¹³.2⁴.3⁸

Kết luận: A có 13 chữ số 0 tận cùng.

\(a/\)\(\left(x+2\right)\left(x+3\right)\left(x+4\right)\left(x+5\right)-24\)

\(=\left[\left(x+2\right)\left(x+5\right)\right]\left[\left(x+3\right)\left(x+4\right)\right]-24\)

\(=\left(x^2+7x+10\right)\left(x^2+7x+12\right)-24\) (1)

Đặt \(x^2+7x+11=y\) thì (1) trở thành:

\(\left(y-1\right)\left(y+1\right)-24\)

\(=y^2-1-24\)

\(=y^2-25\)

\(=\left(y-5\right)\left(y+5\right)\)

\(=\left(x^2+7x+11-5\right)\left(x^2+7x+11+5\right)\)

\(=\left(x^2+7x+6\right)\left(x^2+7x+16\right)\)

\(b/m(x^2+1)-x(m^2+1)\\=mx^2+m-m^2x-x\\=(mx^2-m^2x)-x+m\\=mx(x-m)-(x-m)\\=(x-m)(mx-1)\)

a: Xét ΔCDE vuông tại D và ΔCAB vuông tại A có

\(\widehat{DCE}\) chung

Do đó: ΔCDE~ΔCAB

=>\(\dfrac{CD}{CA}=\dfrac{CE}{CB}\)

=>\(\dfrac{CD}{CE}=\dfrac{CA}{CB}\)

Xét ΔCDA và ΔCEB có

\(\dfrac{CD}{CE}=\dfrac{CA}{CB}\)

\(\widehat{DCA}\) chung

Do đó: ΔCDA~ΔCEB

=>\(\widehat{CDA}=\widehat{CEB}\)

Xét ΔAHD có \(\widehat{AHD}=90^0\) và AH=HD

nên ΔAHD vuông cân tại H

Ta có: \(\widehat{CDA}+\widehat{ADB}=180^0\)

\(\widehat{CEB}+\widehat{AEB}=180^0\)

mà \(\widehat{CDA}=\widehat{CEB}\)

nên \(\widehat{ADB}=\widehat{AEB}\)

=>\(\widehat{AEB}=45^0\)

Xét ΔAEB vuông tại A có \(\widehat{AEB}=45^0\)

nên ΔAEB vuông cân tại A

=>\(BE=AB\sqrt{2}=a\sqrt{2}\)

b: 

ΔAEB vuông cân tại A có AM là đường trung tuyến

nên AM\(\perp\)BE

Xét ΔBMA vuông tại M và ΔBAE vuông tại A có

\(\widehat{MBA}\) chung

Do đo: ΔBMA~ΔBAE

=>\(\dfrac{BM}{BA}=\dfrac{BA}{BE}\)

=>\(BM\cdot BE=BA^2\left(1\right)\)

Xét ΔBHA vuông tại H và ΔBAC vuông tại A có

\(\widehat{HBA}\) chung

Do đó: ΔBHA~ΔBAC
=>\(\dfrac{BH}{BA}=\dfrac{BA}{BC}\)

=>\(BH\cdot BC=BA^2\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) suy ra \(BM\cdot BE=BH\cdot BC\)

=>\(\dfrac{BM}{BC}=\dfrac{BH}{BE}\)

Xét ΔBMH và ΔBCE có

\(\dfrac{BM}{BC}=\dfrac{BH}{BE}\)

\(\widehat{MBH}\) chung

Do đó: ΔBMH~ΔBCE

Xét tứ giác AMHB có \(\widehat{AMB}=\widehat{AHB}=90^0\)

nên AMHB là tứ giác nội tiếp

=>\(\widehat{AHM}=\widehat{ABM}=45^0\)

Bài 22.

Gọi `x` `(km)` là quãng đường `AB` `(x>0)`

`-` Vận tốc của xe máy lúc đi từ `A` đến `B` là: `30(km//h)` 

`-` Vận tốc của xe máy lúc về từ `B` đến `A` là: `25(km//h)`

`-` Thời gian của xe máy lúc đi từ `A` đến `B` là: `x/30 (h)`

`-` Thời gian của xe máy lúc về từ `B` đến `A` là: `x/25 (h)`

     Vì tổng thời gian cả đi và về là `5` giờ `30` phút `=5,5` giờ nên ta có phương trình:

`x/30 + x/25 = 5,5`

`<=> x (1/30 + 1/25) = 5,5`

`<=>x 11/150 = 5,5`

`<=>x = 5,5 : 11/150`

`<=> x = 75(nhận)`

Vậy, quãng đường `AB` dài `75km`

_

Bài 24.

Gọi `x` `(km)` là quãng đường `AB` `(x>0)`

`-` Vận tốc của xe máy lúc đi từ `A` đến `B` là: `25(km//h)` 

`-` Vận tốc của xe máy lúc về từ `B` đến `A` là: `20(km//h)`

`-` Thời gian của xe máy lúc đi từ `A` đến `B` là: `x/25 (h)`

`-` Thời gian của xe máy lúc về từ `B` đến `A` là: `x/20 (h)`

     Vì thời gian về về nhiều hơn thời gian đi là `30` phút `=1/2` giờ nên ta có phương trình:

`x/20 - x/25 = 1/2`

`<=> x (1/20 - 1/25) = 1/2`

`<=>x 1/100 = 1/2`

`<=>x = 1/2 : 1/100`

`<=> x = 50(nhận)`

Vậy, quãng đường `AB` dài `50km`.

Chắc làm hết. 

\(x^2+2y^2+3xy-x-y+3=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)\left(x+2y\right)-\left(x+y\right)=-3\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)\left(x+2y-1\right)=-3\)

Ta có bảng:

Vậy \(\left(x;y\right)=\left(-4;3\right);\left(-6;5\right);\left(4;-3\right);\left(6;-3\right)\)

Gọi độ dài quãng đường đi là x (km) với x>0

Thời gian đi là: \(\dfrac{x}{12}\) giờ

Độ dài quãng đường về là: \(x+4\) (km)

Thời gian về là: \(\dfrac{x+4}{20}\) giờ

Do tổng thời gian cả đi và về là 6h nên ta có pt:

\(\dfrac{x}{12}+\dfrac{x+4}{20}=6\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{x}{12}+\dfrac{x}{20}=6-\dfrac{4}{20}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{2}{15}x=\dfrac{29}{5}\)

\(\Rightarrow x=43,5\left(km\right)\)

a.

ĐKXĐ của A: \(x\ne\left\{-3;3\right\}\)

ĐKXĐ của B: \(x\ne-1\)

b.

\(A=\dfrac{2x\left(x-3\right)}{\left(x+3\right)\left(x-3\right)}+\dfrac{\left(x+1\right)\left(x+3\right)}{\left(x+3\right)\left(x-3\right)}+\dfrac{11x-3}{\left(x+3\right)\left(x-3\right)}\)

\(=\dfrac{2x\left(x-3\right)+\left(x+1\right)\left(x+3\right)+11x-3}{\left(x+3\right)\left(x-3\right)}\)

\(=\dfrac{3x^2+9x}{\left(x+3\right)\left(x-3\right)}=\dfrac{3x\left(x+3\right)}{\left(x+3\right)\left(x-3\right)}\)

\(=\dfrac{3x}{x-3}\)

c.

\(B< 1\Rightarrow\dfrac{x-3}{x+1}< 1\Rightarrow\dfrac{x-3}{x+1}-1< 0\)

\(\Rightarrow\dfrac{-4}{x+1}< 0\Rightarrow x+1>0\)

\(\Rightarrow x>-1\)

d.

\(P=AB=\dfrac{3x}{x-3}.\dfrac{x-3}{x+1}=\dfrac{3x}{x+1}\)

\(P=\dfrac{9}{2}\Rightarrow\dfrac{3x}{x+1}=\dfrac{9}{2}\Rightarrow2x=3x+3\)

\(\Rightarrow x=-3\)

e.

\(P=\dfrac{3x}{x+1}=\dfrac{3\left(x+1\right)-3}{x+1}=3-\dfrac{3}{x+1}\)

Để P nguyên \(\Rightarrow\dfrac{3}{x+1}\) nguyên \(\Rightarrow x+1=Ư\left(3\right)\)

\(\Rightarrow x+1=\left\{-3;-1;1;3\right\}\)

\(\Rightarrow x=\left\{-4;-2;0;2\right\}\)

a: Xét ΔBHA vuông tại H và ΔBAC vuông tại A có

\(\widehat{ABC}\) chung

Do đó: ΔBHA~ΔBAC

=>\(\dfrac{BH}{BA}=\dfrac{BA}{BC}\)

=>\(BA^2=BH\cdot BC\)

b: Xét ΔHAB vuông tại H và ΔHCA vuông tại H có

\(\widehat{HAB}=\widehat{HCA}\left(=90^0-\widehat{ABC}\right)\)

Do đó: ΔHAB~ΔHCA

=>\(\dfrac{HA}{HC}=\dfrac{HB}{HA}\)

=>\(HA^2=HB\cdot HC\)