\(3-P=1-\frac{x}{x+1}+1-\frac{y}{y+1}+1-\frac{z}{z+1}\)

\(=\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{1}{z+1}\ge\frac{9}{x+y+z+3}=\frac{9}{1+3}=\frac{9}{4}\)

\(\Rightarrow P\le\frac{3}{4}\)

Dấu "=" xảy ra tại \(x=y=z=\frac{1}{3}\)

2/\(LHS\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{a+b+c+\sqrt[3]{bc}+\sqrt[3]{ca}+\sqrt[3]{ab}}\)

\(\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{a+b+c+\frac{1+b+c}{3}+\frac{1+c+a}{3}+\frac{1+a+b}{3}}=\frac{3}{2}\)

Khi xe thứ hai xuất phát thì xe thứ nhất đi được: (8,5 - 7).40 = 60 (km).

Gọi t là thời gian xe thứ hai bắt đầu đi đến khi gặp xe thứ nhất(h) (t>1,5)

=> Quãng đường xe thứ hai đi được cho đến khi gặp xe thứ nhất là: 60t

Quãng đường xe thứ nhất đi được cho đến khi gặp xe thứ hai là: 60 + 40t.

Theo đề ta có phương trình: 60t = 60 + 40t => t = 3.

Vậy hai xe gặp nhau vào lúc: 3 + 8,5 = 11,5 giờ(Không biết giải theo cách lập hệ phương trình sao nữa)

Gọi x là thời gian để hai người gặp được nhau (h) (với điều kiện x>0)
Vậy ta có quãng đường ng thứ nhất đi đc là 0.(x+1) (km)
=> dẽ dàng suy ra đc quãng đường của ng thứ 2 đi đc là 45x (km)
Vì 2 người đó đi cùng một quãng đường nên ta có phương trình như sau:
30(x+1) = 45x
<=>30x +30=45x
<=>30=15x
<=>x=2
Vậy tg người thứ nhất đi là 3h
Tg ng thứ 2 đi là 2h
Vậy đến 7+3 = 10h thì ng thứ 2 đuổi kịp ng thứ nhất
và cách A một quãng = 45.x=45.2 =90km

1.Ta có: \(c+ab=\left(a+b+c\right)c+ab\)

\(=ac+bc+c^2+ab\)

\(=a\left(b+c\right)+c\left(b+c\right)\)

\(=\left(b+c\right)\left(a+b\right)\)

CMTT \(a+bc=\left(c+a\right)\left(b+c\right)\)

\(b+ca=\left(b+c\right)\left(a+b\right)\)

Từ đó \(P=\sqrt{\frac{ab}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)}}+\sqrt{\frac{bc}{\left(c+a\right)\left(a+b\right)}}+\sqrt{\frac{ca}{\left(b+c\right)\left(a+b\right)}}\)

Ta có: \(\sqrt{\frac{ab}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)}}\le\frac{1}{2}\left(\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}\right)\)( theo BĐT AM-GM)

CMTT\(\Rightarrow P\le\frac{1}{2}\left(\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{a+c}+\frac{b}{a+b}+\frac{c}{b+c}+\frac{a}{a+b}\right)\)

\(\Rightarrow P\le\frac{1}{2}.3\)

\(\Rightarrow P\le\frac{3}{2}\)

Dấu"="xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c\)

Vậy /...

\(\frac{a+1}{b^2+1}=a+1-\frac{ab^2-b^2}{b^2+1}=a+1-\frac{b^2\left(a+1\right)}{b^2+1}\ge a+1-\frac{b^2\left(a+1\right)}{2b}\)

\(=a+1-\frac{b\left(a+1\right)}{2}=a+1-\frac{ab+b}{2}\)

Tương tự rồi cộng lại:

\(RHS\ge a+b+c+3-\frac{ab+bc+ca+a+b+c}{2}\)

\(\ge a+b+c+3-\frac{\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}+a+b+c}{2}=3\)

Dấu "=" xảy ra tại \(a=b=c=1\)

\(đpcm\Leftrightarrow\frac{DE+DA}{DE.DA}=\frac{2}{DF}\)

\(\Leftrightarrow DE.DF+DA.DF=2.DE.DA\)

\(\Leftrightarrow DE.DA-DE.FA+DE.DA+EF.DA=2.DE.DA\)

\(\Leftrightarrow DE.FA=FE.DA\)

\(\Leftrightarrow\frac{DE}{DA}=\frac{FE}{FA}\)(*)

Xét tam giác DEC và tam giác DCA đồng dạng (g.g)

\(\Rightarrow\frac{DE}{DA}=\frac{S_{DEC}}{S_{DCA}}=\frac{EC^2}{AC^2}\)(1)

Lại xét tam giác EFB và tam giác CFA đồng dạng (g.g)

\(\Rightarrow\frac{FE}{FA}=\frac{EF}{FB}.\frac{FB}{FA}=\frac{EC}{AB}.\frac{BE}{AC}=\frac{ EC}{AC}.\frac{BE}{AB}\)

Dễ thấy ABEC là tứ giác điều hòa \(\Rightarrow\frac{BE}{BA}=\frac{EC}{CA}\)(t/c của tứ giác điều hòa)

\(\Rightarrow\frac{FE}{FA}=\frac{EC^2}{AC^2}\)(2)

Từ (1) và (2) suy ra \(\frac{FE}{FA}\)\(=\frac{DE}{DA}\)(đúng với (*))

Vậy \(\frac{1}{DE}+\frac{1}{DA}=\frac{2}{DF}\)(đpcm)

Gọi K đối xứng với F qua M.

Tứ giác FBKC là hình bình hành\(\Rightarrow FC//BK\)

\(\Rightarrow\widehat{BKM}=\widehat{MEB};\widehat{BKM}=\widehat{MFA}\).Mà \(\widehat{AEM}=\widehat{MFA}\Rightarrow\widehat{BKM}=\widehat{MEB}\Rightarrow\)Tứ giác BMKE nội tiếp

\(\Rightarrow\widehat{BEK}=\widehat{DAE};\widehat{BEK}=\widehat{FMD}=\widehat{FAD}=\widehat{DAE}\)

\(\Rightarrow\widehat{BEK}=\widehat{DAE}\Rightarrow AD//EK\)

Do N là trung điểm của EF, M là trung điểm của FK \(\Rightarrow MN//EK\)

\(\Rightarrow MN//AD\left(đpcm\right)\)

ủa ko hiểu 

giờ mình có l 6

Theo hệ quả của bất đẳng thức Cauchy - Schwarz 

\(\Rightarrow x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+xz\)

Mà \(x^2+y^2+z^2\le3\)

\(\Rightarrow xy+yz+xz\le3\)

Ta có \(P=\frac{1}{1+xy}+\frac{1}{1+yz}+\frac{1}{1+xz}\)

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz dạng phân thức 

\(\Rightarrow P\ge\frac{\left(1+1+1\right)^2}{xy+1+yz+1+xz+1}=\frac{9}{xy+yz+xz+3}\left(1\right)\)

Ta có : \(xy+yz+xz\le3\)

\(\Rightarrow xy+yz+xz+3\le6\)

\(\Rightarrow\frac{9}{xy+yz+xz+3}\ge\frac{9}{6}=\frac{3}{2}\left(2\right)\)

Từ (1) và (2)

\(\Rightarrow P\ge\frac{3}{2}\)

Vậy \(P_{min}=\frac{3}{2}\)

Dấu " = " xảy ra khi \(x=y=z=1\)

Chúc bạn học tốt !!!

\(x^2+xy+y=1\)

\(\Leftrightarrow\left(x+1\right)\left(x+y-1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow x+y=1\)

\(\Leftrightarrow x=1-y\)

Thế vô phương trình sau được

\(4\left(1-y\right)+\sqrt{1-y}-\sqrt[3]{y}=5\)

\(\Leftrightarrow4y+\left(1-\sqrt{1-y}\right)+\sqrt[3]{y}=0\)

\(\Leftrightarrow4y+\frac{y}{1+\sqrt{1-y}}+\sqrt[3]{y}=0\)

Làm nốt

\(\hept{\begin{cases}x^2+xy+y=1\left(1\right)\\\sqrt{x}-\sqrt[3]{y}+4x=5\left(2\right)\end{cases}}\)

\(ĐK:x\ge0\)

Ta có: \(\left(1\right)\Leftrightarrow x^2+xy+y-1=0\)(*)

Coi (*) là phương trình bậc hai theo ẩn x thì \(\Delta=y^2-4y+4=\left(y-2\right)^2\)

\(\Rightarrow\)Phương trình (*) có hai nghiệm x = -1 (loại vì \(x\ge0\)) và \(x=-\frac{c}{a}=1-y\left(ĐK:y\le1\right)\)

\(\Rightarrow y=-x+1\). Thay y = -x + 1 vào (2), ta được: \(\sqrt{x}-\sqrt[3]{-x+1}+4x=5\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{x}-1+\sqrt[3]{x-1}+4x-4=0\)\(\Leftrightarrow\frac{x-1}{\sqrt{x}+1}+\sqrt[3]{x-1}+4\left(x-1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\sqrt[3]{x-1}\left(\frac{\sqrt[3]{\left(x-1\right)^2}}{\sqrt{x}+1}+1+4\sqrt[3]{\left(x-1\right)^2}\right)=0\)

Dễ thấy \(\frac{\sqrt[3]{\left(x-1\right)^2}}{\sqrt{x}+1}+1+4\sqrt[3]{\left(x-1\right)^2}>0\)nên \(\sqrt[3]{x-1}=0\Leftrightarrow x=1\Rightarrow y=0\)

Vậy hệ phương trình có 1 nghiệm duy nhất \(\left(x,y\right)=\left(1,0\right)\)

\(VT=\Sigma_{cyc}\frac{2\sqrt{x}}{x^3+y^2}\le\Sigma_{cyc}\frac{2\sqrt{x}}{2\sqrt{x^3y^2}}=\Sigma_{cyc}\frac{1}{\sqrt{x^2y^2}}=\Sigma_{cyc}\frac{1}{xy}\)

\(=\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx}\le\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}\) (áp dụng BĐT quen thuộc \(ab+bc+ca\le a^2+b^2+c^2\))

Đẳng thức xảy ra khi x = y = z = 1

Sửa đề : \(\frac{2\sqrt{x}}{x^3+y^2}+\frac{2\sqrt{y}}{y^3+z^2}+\frac{2\sqrt{z}}{z^3+x^2}\)

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz 

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}x^3+y^2\ge2\sqrt{x^3y^2}=2xy\sqrt{x}\\y^3+z^2\ge2\sqrt{y^3z^2}=2yz\sqrt{y}\\z^3+x^2\ge2\sqrt{z^3x^2}=2xz\sqrt{z}\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}\frac{2\sqrt{x}}{x^3+y^2}\le\frac{2\sqrt{x}}{2xy\sqrt{x}}=\frac{1}{xy}\\\frac{2\sqrt{y}}{y^3+z^2}\le\frac{2\sqrt{y}}{2yz\sqrt{y}}=\frac{1}{yz}\\\frac{2\sqrt{z}}{z^3+x^2}\le\frac{2\sqrt{z}}{2xz\sqrt{z}}=\frac{1}{xz}\end{cases}}\)

\(\Rightarrow VT\le\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{xz}\left(1\right)\)

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}\ge2\sqrt{\frac{1}{x^2y^2}}=\frac{2}{xy}\\\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}\ge2\sqrt{\frac{1}{y^2z^2}}=\frac{2}{yz}\\\frac{1}{z^2}+\frac{1}{x^2}\ge2\sqrt{\frac{1}{x^2z^2}}=\frac{2}{xz}\end{cases}}\)

\(\Rightarrow2\left(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}\right)\ge2\left(\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{xz}\right)\)

\(\Rightarrow\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}\ge\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{xz}\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) :

\(\Rightarrow VT\le\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}\)

\(\Leftrightarrow\frac{2\sqrt{x}}{x^3+y^2}+\frac{2\sqrt{y}}{y^3+z^2}+\frac{2\sqrt{z}}{z^3+x^2}\le\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}\left(đpcm\right)\)

Chúc bạn học tốt !!!

Theo em nghĩ bài này ko thiếu điều kiện đâu cô quản lí ạ !!!

Áp dụng BĐT Bunhiacopxki ta có:

\(\left(ab+1\right)^2\le\left(a^2+1\right)\left(b^2+1\right)\)

Áp dụng BĐT AM-GM, ta có:

\(a^2+1=a.a.1+1\le\frac{a^3+a^3+1}{3}+1=\frac{2.\left(a^3+2\right)}{3}\)

\(b^2+1=b.b.1+1\le\frac{b^3+b^3+1}{3}+1=\frac{2.\left(b^3+2\right)}{3}\)

Do đó:

\(\left(ab+1\right)^2\le\frac{4}{9}\left(a^3+2\right)\left(b^3+2\right)\)

\(\Rightarrow ab+1\le\frac{2}{3}\sqrt{\left(a^3+2\right)\left(b^3+2\right)}\)

\(\Rightarrow\frac{a^3+2}{ab+1}\ge\frac{3}{2}.\sqrt{\frac{a^3+2}{b^3+2}}\) \(\left(1\right)\)

Tương tự, ta có:

\(\frac{b^3+2}{bc+1}\ge\frac{3}{2}.\sqrt{\frac{b^3+2}{c^3+2}}\) \(\left(2\right)\)

\(\frac{c^3+2}{ca+1}\ge\frac{3}{2}.\sqrt{\frac{c^3+2}{a^3+2}}\)  \(\left(3\right)\)

Cộng theo vế của \(\left(1\right)\), \(\left(2\right)\) và \(\left(3\right)\) và áp dụng BĐT AM-GM, ta có:

\(G\ge\frac{3}{2}\left(\sqrt{\frac{a^3+2}{b^3+2}}+\sqrt{\frac{b^3+2}{c^3+2}}+\sqrt{\frac{c^3+2}{a^3+2}}\right)\) \(\ge\frac{3}{2}.3\sqrt[3]{\sqrt{\frac{a^3+2}{b^3+2}}.\sqrt{\frac{b^3+2}{c^3+2}}.\sqrt{\frac{c^3+2}{a^3+2}}}=\frac{9}{2}\)

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(a=b=c=1\)

Vậy: \(G_{min}=\frac{9}{2}\Leftrightarrow a=b=c=1\) 

Nếu có thể thì cô Chi check xem nick Đinh Uyển Tình và Đông Phương Lạc có cùng địa chỉ máy tính không ạ??

Bạn Đông Phương Lạc tự đăng tự tl ko bt nhục à