Ta có:  \(2xy\left(x^2+y^2\right)\le\frac{\left(x+y\right)^4}{4}=\frac{16}{4}=4\)

\(\Rightarrow xy\left(x^2+y^2\right)\le2\left(1\right)\)

Lại có: \(xy\le\frac{\left(x+y\right)^2}{4}=1\left(2\right)\)

Nhân từng vế (1) và (2)=> đpcm

Dấu "=" xảy ra khi x=y=1

sao \(2xy\left(x^2+y^2\right)\le\frac{\left(x+y\right)^4}{4}\) vậy ???

A B C M D E F O

Xét \(\Delta ABC\)nội tiếp đường tròn ( O ), M là điểm bất kì thuộc đường tròn, \(MD\perp BC;MF\perp AB;ME\perp AC\)

Tứ giác MDEC có \(\widehat{MEC}=\widehat{MDC}=90^o\) nên là tứ giác nội tiếp

\(\Rightarrow\widehat{MDE}+\widehat{MCE}=180^o\) ( 1 )

Tứ giác ABMC là tứ giác nội nên \(\widehat{MCA}=\widehat{MBF}\)( cùng bù với \(\widehat{ABM}\))  ( 2 )

Tứ giác MDBF có \(\widehat{BDM}+\widehat{BFM}=180^o\)nên là tứ giác nội tiếp suy ra \(\widehat{MBF}=\widehat{FDM}\)( 3 )

Từ ( 1 ) , ( 2 ) và ( 3 ) \(\Rightarrow\widehat{FDM}+\widehat{MDE}=180^o\)hay \(\widehat{FDE}=180^o\)

Vậy 3 điểm D,E,F thẳng hàng

\(P=\Sigma_{cyc}\sqrt{\frac{a}{a+1}}=\Sigma_{cyc}2\sqrt{\frac{1}{4}\left(1-\frac{1}{a+1}\right)}\)

\(\le\Sigma_{cyc}\left[\frac{1}{4}+\left(1-\frac{1}{a+1}\right)\right]=\frac{15}{4}-\left(\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}+\frac{1}{c+1}\right)\)

\(\le\frac{15}{4}-\frac{9}{a+b+c+3}=\frac{3}{2}\)

Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)

Cách khác:

\(P=\Sigma_{cyc}\sqrt{\frac{a}{a+1}}=\Sigma_{cyc}\sqrt{a.\frac{1}{\left(a+b\right)+\left(a+c\right)}}\)

\(\le\Sigma_{cyc}\sqrt{\frac{1}{4}a\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a+c}\right)}=\frac{1}{2}\Sigma_{cyc}\sqrt{1\left(\frac{a}{a+b}+\frac{a}{a+c}\right)}\)

\(\le\frac{1}{4}.\Sigma_{cyc}\left(1+\frac{a}{a+b}+\frac{a}{a+c}\right)=\frac{3}{2}\)

Đẳng thức xảy ra khi a = b = c

Đề sai sai sao á trần quốc huy