a, Xét tứ giác MEOF có \(\widehat{MEO}=\widehat{MFO}=90^0\)

=> Tứ giác MEOF nội tiếp (t/c)

=> 4 điểm M,E,O,F cùng thuộc đường tròn đường kính MO (1)

Xét tứ giác AFOM có : \(\widehat{MAO}=\widehat{MFO}=90^0\)

=> Tứ giác AFOM nội tiếp (t/c)

=> 4 điểm M,A,O,F cùng thuộc đường tròn đường kính MO (2)

Từ (1) và (2) => Năm điểm A, M, E, O, F cùng thuộc  đường tròn đường kính MO

 \(\hept{\begin{cases}x^3-6x^2y+9xy^2-4y^3=0\left(1\right)\\\sqrt{x-y}+\sqrt{x+y}=2\left(2\right)\end{cases}}\)

ĐKXĐ: \(x\ge y\ge0\)

ta có: (1)\(\Leftrightarrow\left(x^3-y^3\right)-3y^3-9x^2y+3x^2y+9xy^2=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)\left(x^2+xy+y^2\right)+3y\left(x^2-y^2\right)-9xy\left(x-y\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)\left(x^2+xy+y^2+3y\left(x+y\right)-9xy\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)\left(x^2-5xy+4y^2\right)=0\)

\(\orbr{\begin{cases}x=y\\x^2-5xy+4y^2=0\end{cases}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=y\\\left(x-y\right)\left(x-4y\right)=0\end{cases}}}\)\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=y\\x=4y\end{cases}}\)

* Thay x=y vào phương trình (2), ta được: \(\sqrt{y-y}+\sqrt{2y}=2\Leftrightarrow y=2\Rightarrow x=y=2\)

* thay x=4y vào phương trình (2), ta được: \(\sqrt{4y-y}+\sqrt{4y+y}=2\)

\(\Leftrightarrow y=8-2\sqrt{15}\)\(\Rightarrow x=32-8\sqrt{15}\)

Vậy.......

\(\sqrt{2}A=\sqrt{2a\left(b+1\right)}+\sqrt{2b\left(a+1\right)}\le\frac{2a+2b+a+b+2}{2}=\frac{8}{2}=4\)

\(\Rightarrow A\le\frac{4}{\sqrt{2}}=2\sqrt{2}.\text{Dấu "=" xảy ra khi:}a=b=1\)

shitbo

Giá trị nhỏ nhất mà :)))

Đề thi học sinh giỏi tỉnh nghệ an 2018-2019 

đây là cách của t. t nghĩ nó đơn giản hơn lời giải đó

Ta có : \(\left(a+b\right)^4\le\left(a+b\right)^4+\left(a-b\right)^4=2a^4+2b^4+12a^2b^2\)

\(=2a^4+2b^4+\frac{32}{3}a^2b^2+\frac{2}{3}.2a^2b^2\le2a^4+2b^4+\frac{32}{3}a^2b^2+\frac{2}{3}\left(a^4+b^4\right)\)( Cô-si )

\(=\frac{8}{3}a^4+\frac{8}{3}b^4+\frac{32}{3}a^2b^2\)

Tương tự : \(\left(b+c\right)^4\le\frac{8}{3}b^4+\frac{8}{3}c^4+\frac{32}{3}b^2c^2\); \(\left(a+c\right)^4\le\frac{8}{3}a^4+\frac{8}{3}c^4+\frac{32}{3}a^2c^2\)

Áp dụng BĐT Cô-si dạng Engel, ta có :

\(\left(\frac{a}{a+b}\right)^4+\left(\frac{b}{b+c}\right)^4+\left(\frac{c}{c+a}\right)^4\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{\left(a+b\right)^4+\left(b+c\right)^4+\left(c+a\right)^4}\)

\(\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{\frac{16}{3}\left(a^4+b^4+c^4\right)+\frac{32}{3}\left(a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2\right)}=\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{\frac{16}{3}\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}=\frac{3}{16}\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\)x = y = z

Vậy GTNN của P là \(\frac{3}{16}\)\(\Leftrightarrow\)x = y = z

Tự vẽ sơ đồ nha bạn

Số này là: 75: (1+2).2=50

Số kia là: 75-50= 25

Vậy.......

Cách tiểu học:

Tổng số phần bằng nhau:

2 + 1 = 3 ( phần)

Số thứ hai là:

75 / 3 = 25

SỐ thứ nhất là:

75 / 3 x 2 = 50

Cách của trung học cơ sở

Gọi số thứ nhất là a ( a là số tự nhiên) và a = 2x (x <a, x là số tự nhiên)

Ta có hệ phương trình:

a= 2x

a + x = 75

Thay a = 2x

2x + x= 75

3x = 75

x =25 (Số thứ 2)

a = 2x = 2.25= 50 (Số thứ nhất)

đề Nghệ An đó bạn. sao ko tìm đáp án đi

ĐKXĐ : \(x\ge\frac{-3}{2}\)

PT đã cho trở thành : 

\(8x^3+4x=\left(2x+5\right)\sqrt{2x+3}\)

\(\Leftrightarrow\left(2x\right)^3+2.2x=\left(2x+3\right)\sqrt{2x+3}+2\sqrt{2x+3}\)

đặt a = 2x ; b = \(\sqrt{2x+3}\)( b \(\ge\)0 )

Khi đó PT trở thành : \(a^3+2a=b^3+2b\Leftrightarrow\left(a-b\right)\left(a^2+ab+b^2+2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow a=b\)hay \(2x=\sqrt{2x+3}\)( \(x\ge0\))

\(\Leftrightarrow4x^2=2x+3\Leftrightarrow4x^2-2x-3=0\Leftrightarrow x=\frac{1\pm\sqrt{13}}{4}\)

Kết hợp với ĐKXĐ ta được : \(x=\frac{1+\sqrt{13}}{4}\)là nghiệm của PT

Bằng một số bước tính toán cơ bản, chúng ta có được:

\(VT-VP=\Sigma_{cyc}\frac{x\left(x-z\right)^2}{2\left(x^2+z^2\right)}\ge0\)

tth_old : t chán cái kiểu SOS gì đó của m rồi đấy.