a) 9x² + y² + 12x - 10y + 40

= ( 9x² + 12x + 4 ) + ( y² - 10y + 25 ) + 11

= ( 3x + 2 )² + ( y - 5 )² + 11 ≥ 11 ∀ x, y

Dấu "=" xảy ra <=> \(\hept{\begin{cases}3x+2=0\\y-5=0\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=-\frac{2}{3}\\y=5\end{cases}}\)

Vậy GTNN của biểu thức = 11 <=> x = -2/3 ; y = 5

b) 2x² + 2y² - 4x - 4y - 2xy + 30

= ( x² - 2xy + y² ) + ( x² - 4x + 4 ) + ( y² - 4y + 4 ) + 22

= ( x - y )² + ( x - 2 )² + ( y - 2 )² + 22 ≥ 22 ∀ x, y

Dấu "=" xảy ra <=> \(\hept{\begin{cases}x-y=0\\x-2=0\\y-2=0\end{cases}}\Leftrightarrow x=y=2\)

Vậy GTNN của biểu thức = 22 <=> x = y = 2

a) Đặt \(A=9x^2+y^2+12x-10y+40\)

\(\Rightarrow A=\left(9x^2+12x+4\right)+\left(y^2-10y+25\right)+11\)

\(=\left(3x+2\right)^2+\left(y-5\right)^2+11\)

Vì \(\left(3x+2\right)^2\ge0\forall x\); \(\left(y-5\right)^2\ge0\forall y\)

\(\Rightarrow\left(3x+2\right)^2+\left(y-5\right)^2\ge0\forall x,y\)

\(\Rightarrow\left(3x+2\right)^2+\left(y-5\right)^2+11\ge11\forall x,y\)

Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}3x+2=0\\y-5=0\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}3x=-2\\y=5\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=\frac{-2}{3}\\y=5\end{cases}}\)

Vậy \(minA=11\)\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=\frac{-2}{3}\\y=5\end{cases}}\)

b) Đặt \(B=2x^2+2y^2-4x-4y-2xy+30\)

\(\Rightarrow B=\left(x^2-2xy+y^2\right)+\left(x^2-4x+4\right)+\left(y^2-4y+4\right)+22\)

\(=\left(x-y\right)^2+\left(x-2\right)^2+\left(y-2\right)^2+22\)

Vì \(\left(x-y\right)^2\ge0\forall x,y\); \(\left(x-2\right)^2\ge0\forall x\); \(\left(y-2\right)^2\ge0\forall y\)

\(\Rightarrow\left(x-y\right)^2+\left(x-2\right)^2+\left(y-2\right)^2\ge0\forall x,y\)

\(\Rightarrow\left(x-y\right)^2+\left(x-2\right)^2+\left(y-2\right)^2+22\ge22\forall x,y\)

Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x-y=0\\x-2=0\\y-2=0\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=y\\x=2\\y=2\end{cases}}\Leftrightarrow x=y=2\)

Vậy \(minB=22\)\(\Leftrightarrow x=y=2\)

                                     

a) Ta có : AB // CD ( do ABCD là hình bình hành )

\(\Rightarrow\)AM // NC \(\left(1\right)\)

Lại có : M là trung điểm của AB \(\Rightarrow AM=\frac{1}{2}AB\left(2\right)\)

              N là trung điểm của DC \(\Rightarrow CN=\frac{1}{2}CD\left(3\right)\)

mà AB = CD ( ABCD là hình bình hành ) \(\left(4\right)\)

Từ \(\left(2\right);\left(3\right);\left(4\right)\Rightarrow AM=CN\left(5\right)\)

Từ \(\left(1\right);\left(5\right)\Rightarrow\)tứ giác AMCN là hình bình hành

b) Ta có : ABCD là hình bình hành (gt)

\(\Rightarrow\)AC cắt BD tại trung điểm của mỗi đường

\(\Rightarrow\)O là trung điểm của BD và O là trung điểm của AC (*)

Ta có : AMCN là hình bình hành (cma)

\(\Rightarrow\)AC cắt MN tại trung điểm của mỗi đường 

\(\Rightarrow\)O là trụng điểm của MN (**)

Từ (*) ; (**) \(\Rightarrow\)AC ; BD ; MN đồng quy

c) Ta có : AM = CN (cmt)

mà \(CN=\frac{1}{2}DC\)(cmt)

\(\Rightarrow AM=\frac{1}{2}DC\)

\(\Rightarrow\)AM là đường trung bình của \(\Delta ECD\) 

2x +\(\frac{2}{3}\)< 2 + x -\(\frac{2}{2}\)

<=> 2x - x < 2 - \(\frac{2}{2}\)-\(\frac{2}{3}\)

<=> x < 2 -\(\frac{6}{6}\)-\(\frac{4}{6}\)

<=> x < 2 -\(\frac{2}{6}\)

<=> x < 2 - \(\frac{1}{3}\)

<=> x <\(\frac{5}{3}\)

#Học tốt!!!

~NTTH~

\(\frac{2x+2}{3}< 2+\frac{x-2}{2}\)

<=> \(\frac{2\left(2x+2\right)}{6}< \frac{12}{6}+\frac{3\left(x-2\right)}{6}\)

<=> \(\frac{4x+4}{6}< \frac{12}{6}+\frac{3x-6}{6}\)

Khử mẫu

<=> 4x + 4 < 12 + 3x - 6

<=> 4x - 3x < 12 - 6 - 4

<=> x < 2

Vậy nghiệm của bất phương trình là x < 2

N = x² + y² - 4x + 2

= ( x² - 4x + 4 ) + y² - 2

= ( x - 2 )² + y² - 2 ≥ -2 ∀ x, y

Đẳng thức xảy ra <=> x = 2 ; y = 0

=> MinN = -2 <=> x = 2 ; y = 0

2x - 4x²

= -4( x² - 1/2x + 1/16 ) + 1/4

= -4( x - 1/4 )² + 1/4 ≥ 1/4 ∀ x

Đẳng thức xảy ra <=> x - 1/4 = 0 => x = 1/4

Vậy GTLN của biểu thức = 1/4 <=> x = 1/4

1) \(\frac{x-1}{x+3}-\frac{x}{x-3}=\frac{4x+15}{9-x^2}\)

ĐKXĐ : \(x\ne\pm3\)

\(\Leftrightarrow\frac{x-1}{x+3}-\frac{x}{x-3}=\frac{-4x-15}{x^2-9}\)

\(\Leftrightarrow\frac{\left(x-1\right)\left(x-3\right)}{\left(x-3\right)\left(x+3\right)}-\frac{x\left(x+3\right)}{\left(x-3\right)\left(x+3\right)}=\frac{-4x-15}{\left(x-3\right)\left(x+3\right)}\)

\(\Leftrightarrow\frac{x^2-4x+3}{\left(x-3\right)\left(x+3\right)}-\frac{x^2+3x}{\left(x-3\right)\left(x+3\right)}=\frac{-4x-15}{\left(x-3\right)\left(x+3\right)}\)

\(\Leftrightarrow\frac{x^2-4x+3-x^2-3x}{\left(x-3\right)\left(x+3\right)}=\frac{-4x-15}{\left(x-3\right)\left(x+3\right)}\)

\(\Leftrightarrow-7x+3=-4x-15\)

\(\Leftrightarrow-7x+4x=-15-3\)

\(\Leftrightarrow-3x=-18\)

\(\Leftrightarrow x=6\)( tmđk )

Vậy x = 6 là nghiệm của phương trình

2) 2x + 3 < 6 - ( 3 - 4x )

<=> 2x + 3 < 6 - 3 + 4x

<=> 2x - 4x < 6 - 3 - 3

<=> -2x < 0

<=> x > 0

Vậy nghiệm của bất phương trình là x > 0

x² - 4x + y² - 6y + 13

= ( x² - 4x + 4 ) + ( y² - 6y + 9 )

= ( x - 2 )² + ( y - 3 )² 

          Bài làm :

Nếu bạn muốn viết PT thành tổng 2 bình phương thì mình làm như sau

Ta có :

x² - 4x + y² - 6y + 13

= ( x² - 4x + 4 ) + ( y² - 6y + 9 )

= ( x - 2 )² + ( y - 3 )² 

A) Với \(x>y>0\),ta có: \(x^2+y^2< x^2+y^2+2xy=\left(x+y\right)^2\Rightarrow\frac{1}{x^2+y^2}>\frac{1}{\left(x+y\right)^2}\)

Xét: \(\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}>\frac{x^2-y^2}{\left(x+y\right)^2}=\frac{\left(x-y\right)\left(x+y\right)}{\left(x+y\right)^2}=\frac{x-y}{x+y}\)--->ĐPCM

B) \(3^{16}+1=\left(3^{16}-1\right)+2=\left(3^8+1\right)\left(3^8-1\right)+2\)

\(=\left(3^8+1\right)\left(3^4+1\right)\left(3^4-1\right)+2\)

\(=\left(3^8+1\right)\left(3^4+1\right)\left(3^2+1\right)\left(3^2-1\right)+2\)

\(=\left(3^8+1\right)\left(3^4+1\right)\left(3^2+1\right)\left(3+1\right)\left(3-1\right)+2\)

\(>\left(3^8+1\right)\left(3^4+1\right)\left(3^2+1\right)\left(3+1\right)\)--->ĐPCM

Bài làm :

\(a,\left(8-5x\right)\left(x+2\right)+4\left(x-2\right)\left(x+1\right)+2\left(x-2\right)\left(x+2\right)+10\)

\(=8x+16-5x^2-10x+\left(4x-8\right)\left(x+1\right)+2\left(x^2-2^2\right)+10\)

\(=8x+16-5x^2-10x+4x^2+4x-8x-8+2x^2-8+10\)

\(=\left(8x-10x+4x-8x\right)+\left(-5x^2+4x^2+2x^2\right)+\left(16-8-8+10\right)\)

\(=-6x+x^2+10\)

a)\(\left(8-5x\right)\left(x+2\right)+4\left(x-2\right)\left(x+1\right)+2\left(x-2\right)\left(x+2\right)+10\)\(=8x+16-5x^2-2+4x-8x-8+2x-4x-4+10\)\(=\left(8x+4x-8x+2x-4x\right)+\left(16-2-8-4+10\right)+5x^2\)

\(=2x+12+5x^2\)

b)\(4\left(x-1\right)\left(x+5\right)-\left(x+2\right)\left(x+5\right)-3\left(x-1\right)\left(x+2\right)\)

\(=4x-4x-20-\left[x^2+5x+2x+10\right]-3\left[x^2+2x-1x-2\right]\)

\(=4x-4x-20-x^2-5x-2x-10-3x^2-6x+3x+6\)

\(=\left(4x-4x-5x-2x-6x+3x\right)+\left(-20-10+6\right)+\left(-x^2-3x^2\right)\)

\(=-10x-24-4x^2\)

c)\(\left(x^{2n}+x^ny^n+y^{2n}\right)\left(x^n-y^n\right)\left(x^{3n}+y^{3n}\right)\)

Xét tích \(\left(x^{2n}+x^ny^n+y^{2n}\right)\left(x^n-y^n\right)\Leftrightarrow\left(x^n\right)^3-\left(y^n\right)^3=x^{3n}-y^{3n}\)

Thay vào bt đã cho ta có \(\left(x^{3n}-y^{3n}\right)\left(x^{3n}+y^{3n}\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(x^{3n}\right)^2-\left(y^{3n}\right)^2=x^{6n}-y^{6n}\)