(x + 2)² - (x - 1)(x + 1)  = 13

=> (x² + 2.x.2 + 2² )- (x² - 1) = 13   ( dùng hẳng đẳng thức số 1 và số 3)

=> x² + 4x + 4 - x² + 1 = 13

=> (x² - x²) + 4x + 4 + 1 = 13

=> 4x + 4 + 1 = 13

=> 4x + 5 = 13

=> 4x = 8

=> x = 2

Vậy x = 2

(x + 1)³ + x(x - 1) = x³ + 4x²

=> x³ + 3.x².1 + 3.x.1² + 1³ + x² - x - x³ - 4x² = 0

=> x³ + 3x² + 3x + 1 + x² - x - x³ - 4x² = 0

=> (x³ - x³) + (3x² + x² - 4x²) + (3x - x) + 1 = 0

=> 2x + 1 = 0 => 2x = -1 => x = -1/2

(x + 1)(x + 2) - (x + 3)² = 24

=> x(x + 2) + 1(x + 2) - (x² + 2.x.3 + 3²) = 24

=> x² + 2x + x + 2 - (x² + 6x + 9) = 24

=> x² + 2x + x + 2 - x² - 6x - 9 = 24

=> (x² - x²) + (2x + x - 6x) + (2 - 9) = 24

=> -3x - 7 = 24

=> -3x = 31

=> x = -31/3

(x - 1)(x² + x + 1) + 2x = x³ + 5

Dựa vào hằng đẳng thức : (A - B)(A² + AB + B²) = A³ - B³

=> (x - 1)(x² + x.1 + 1²) = x³ - 1³  = x³ - 1

=> x³ - 1 + 2x - x³ - 5 = 0

=> (x³ - x³) - 1 + 2x - 5 = 0

=> -1 + 2x - 5 = 0

=> -1 + 2x = 5

=> 2x = 6

=> x = 3

\(\left(x+2\right)^2-\left(x-1\right)\left(x+1\right)=13\)

\(\left(x^2+4x+4\right)-\left(x^2-1\right)=13\)

\(x^2+4x+4-x^2+1=13\)

\(4x+5=13\)

\(4x=8\)

\(x=2\)

b,\(\left(x+1\right)^3+x\left(x-1\right)=x^3+4x^2\)

\(x^3+3x^2+3x+1+x^2-x-x^3-4x^2=0\)

\(2x+1=0\)

\(2x=-1\)

\(x=-\frac{1}{2}\)

Đặt S = a + b 

P = a * b 

\(a^2+b^2=20\) 

\(a^2+2ab+b^2-2ab=20\) 

\(\left(a+b\right)^2-2ab=20\) 

\(6^2-2P=20\) 

\(36-2P=20\) 

\(2P=36-20\) 

\(2P=16\) 

\(P=8\) 

\(a^3+b^3\) 

\(=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3-3a^2b-3ab^2\) 

\(=\left(a+b\right)^3-3ab\left(a+b\right)\) 

\(=S^3-3PS\) 

\(=6^3-3\cdot8\cdot6\) 

\(=216-144\) 

\(=72\)                

Ta có 5 + 6 + 7 + ....  + n+ 1 = 105n + 95 (n > 0)

=> [(n + 1 - 5) : 1 + 1].(n + 1 + 5) : 2 = 105n + 95

=> (n - 3)(n + 6) = 210n + 190

=> n² + 3n - 18 = 210n + 190

=> n² + 3n - 18 - 210n - 190 = 0

=> n² - 207n - 208 = 0

=> n² - 208n + n - 208 = 0

=> n(n - 208) + (n - 208) = 0

=> (n + 1)(n - 208) = 0

=> \(\orbr{\begin{cases}n+1=0\\n-208=0\end{cases}}\Rightarrow\orbr{\begin{cases}n=-1\left(\text{loại}\right)\\n=208\left(\text{tm}\right)\end{cases}}\)

Vậy n = 208

Do \(a,b,c>0\)suy ra \(\hept{\begin{cases}a+b< a+b+c\\b+c< a+b+c\\c+a< a+b+c\end{cases}< =>\hept{\begin{cases}\frac{1}{a+b+c}< \frac{1}{a+b}\\\frac{1}{a+b+c}< \frac{1}{b+c}\\\frac{1}{a+b+c}< \frac{1}{c+a}\end{cases}}}\)

Nên \(\frac{a}{a+b+c}< \frac{a}{a+b};\frac{b}{a+b+c}< \frac{b}{b+c};\frac{c}{a+b+c}< \frac{c}{c+a}\)

Cộng theo vế 3 bất đẳng thức trên : \(\frac{a}{a+b+c}+\frac{b}{a+b+c}+\frac{c}{a+b+c}< \frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}\)

\(< =>\frac{a+b+c}{a+b+c}< \frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}< =>1< \frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}\)(*)

Ta có : \(\frac{a}{a+b}< \frac{a+c}{a+b+c};\frac{b}{b+c}< \frac{b+a}{a+b+c};\frac{c}{c+a}< \frac{c+b}{a+b+c}\)

Cộng theo vế 3 bất đẳng thức trên : \(\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}< \frac{a+b}{a+b+c}+\frac{b+c}{a+b+c}+\frac{c+a}{a+b+c}\)

\(< =>\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}< \frac{2\left(a+b+c\right)}{a+b+c}< =>\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}< 2\)(**)

Từ (*) và (**) ta được : \(1< \frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}< 2\)Hay ta có điều phải chứng minh

Bài của bạn @phuonglenhat123 đúng rồi, tuy nhiên cách trình bày khá dài. Mình sẽ rút ngắn lại. Cách xét vẫn vậy nhé

Do a,b,c>0 nên \(\frac{a}{a+b}< 1\)vì vậy \(\frac{a}{a+b+c}< \frac{a}{a+b}< \frac{a+c}{a+b+c}\)

Tương tự ta có \(\frac{b}{a+b+c}< \frac{b}{b+c}< \frac{b+a}{a+b+c};\frac{c}{a+b+c}< \frac{c}{c+a}< \frac{c+b}{a+b+c}\)

Cộng vế với vế các bất đẳng thức trên ta có \(\frac{a}{a+b+c}+\frac{b}{a+b+c}+\frac{c}{a+b+c}< \frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}\)

\(< \frac{a+c}{a+b+c}+\frac{b+a}{a+b+c}+\frac{c+b}{a+b+c}\)

hay \(1=\frac{a+b+c}{a+b+c}< \frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}< \frac{2\left(a+b+c\right)}{a+b+c}=2\)

vậy bất đẳng thức được chứng minh