Đặt \(\frac{1}{1+x}=a\);\(\frac{1}{1+y}=b\);\(\frac{1}{1+y}=c\). Lúc đó a + b + c = 1

Ta có: \(a=\frac{1}{1+x}\Rightarrow x=\frac{1-a}{a}=\frac{\left(a+b+c\right)-a}{a}=\frac{b+c}{a}\)(Do a + b + c = 1)

Tương tự ta có: \(y=\frac{c+a}{b};z=\frac{a+b}{c}\)

\(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\le\frac{3}{2}\sqrt{xyz}\Leftrightarrow\frac{1}{\sqrt{yz}}+\frac{1}{\sqrt{zx}}+\frac{1}{\sqrt{xy}}\le\frac{3}{2}\)

Ta đi chứng minh \(\sqrt{\frac{ab}{\left(a+c\right)\left(b+c\right)}}+\sqrt{\frac{bc}{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}}+\sqrt{\frac{ca}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)}}\)\(\le\frac{3}{2}\)

\(VT\le\frac{1}{2}\left(\frac{a}{a+c}+\frac{b}{b+c}+\frac{b}{a+b}+\frac{c}{a+c}+\frac{a}{a+b}+\frac{c}{b+c}\right)\)

\(=\frac{1}{2}.3=\frac{3}{2}\)*đúng*

Vậy \(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\le\frac{3}{2}\sqrt{xyz}\)

Đẳng thức xảy ra khi x = y = z = 2

x.(x+2y) = -3

x, y nguyên nên ta có bảng sau

Kết luận nhé

\(\frac{1}{3}-\sqrt{7}-\frac{1}{3}+\sqrt{7}=0\)

Giả sử √2018 là một số hữu tỉ thì tồn tại hai số nguyên m và n sao cho: m/n=√2018 (1) với m/n là phân số tối giản hay m và n có ước chung lớn nhất bằng .1

Khi đó từ (1)<=> m=n√2018<=>m^2=2018n^2 (2)

Từ đó suy ra m^2 chia hết cho 2018 nên m phải chia hết cho .2018 (3)

Do đó tồn tại số nguyên k sao cho .m=2018k

Thay vào (2) ta có thể suy ra n^2=2018k^2 hay .n=√2018k

Do k là số nguyên nên suy ra n không nguyên. Từ đây suy ra giả sử ban đầu là sai, tức là không có cặp số m,n nguyên nào để m/n=.√2018

 Vậy √2018 không là số hữu tỉ (√2018∉Q)

Giả sử \(\sqrt{2008}\) là số hữu tỉ, thế thì tồn tại các số nguyên dương m,n sao cho \(\sqrt{2008}=\frac{m}{n}\)(\(\frac{m}{n}\)tối giản và \(m,n\in Z;n\ne0\))

\(\Rightarrow\sqrt{2008}=\frac{m}{n}\Rightarrow2008=\left(\frac{m}{n}\right)^2=\frac{m^2}{n^2}\Rightarrow m^2=2008n^2\)

Suy ra \(m^2\) \(⋮2\Rightarrow m⋮2\)(1)⇒ ta có thể viết m=2k.

Thay m=2k, ta có: \(\left(2k\right)^2=2n^2\Rightarrow4k^2=2n^2\Rightarrow2k^2=n^2\)

\(\Rightarrow n^2⋮2\Rightarrow n⋮2\)(2)

Từ (1) và (2) suy ra trái với giải thiết \(\frac{m}{n}\)là phần số tối giản

Vậy \(\sqrt{2008}\)là số vô tỉ