ĐK \(x\ge-2\)

Giải PT (2)

\(\left(2\right)\Leftrightarrow\left(x+2\right)^3-y^3+\left(x-y+2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-y+2\right)\left[\left(x+2\right)^2+y\left(x+2\right)+y^2+1\right]=0\)

Dễ thấy \(\left(x+2\right)^2+y\left(x+2\right)+y^2+1>0\)

\(\Rightarrow x-y+2=0\)

Thay vào PT (1) là ra (dùng bđt AM-GM)

\(\hept{\begin{cases}4\sqrt{x+2}+2\sqrt{3\left(x+4\right)}=3y\left(y-1\right)+10\left(1\right)\\\left(x+2\right)^2+x=y\left(y^2+1\right)-2\left(2\right)\end{cases}}\)

ĐK: x>=-2

\(\left(2\right)\Leftrightarrow\left(x+2\right)^3-y^3+x+2+2-y=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+2-y\right)\left[\left(x+2\right)^2+\left(x+2\right)y+y^2\right]+x+2-y=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+2-y\right)\left[\left(x+2+\frac{1}{2}y\right)^2+\frac{3}{4}y^2+1\right]=0\)

\(\Leftrightarrow x+2-y=0\Leftrightarrow x+2=y\)

Thay x+2=y vào pt (1) ta được \(4\sqrt{y}+2\sqrt{3\left(y+2\right)}=3y^2-3x+10\left(3\right)\)

Áp dụng BĐT Cosi ta có:

\(\hept{\begin{cases}4\sqrt{y}\le2\left(y+1\right)\\2\sqrt{3\left(y+2\right)}\le y+5\end{cases}\Rightarrow VT\ge3y+7}\)

Mặt khác \(3\left(y-1\right)^2\ge0\Leftrightarrow3y^2-3y+10\ge3y+7\)

Vậy (3) xảy ra <=> y=1 => x=-1

Ta có : \(3y^2+1=4x^2\)

\(\Leftrightarrow3y^2=4x^2-1\)

\(\Leftrightarrow3y^2=\left(2x+1\right)\left(2x-1\right)\)

Mà : \(2x+1\) và \(2x-1\) nguyên tố cùng nhau

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}2x-1=3m^2\\2x+1=n^2\end{cases}}\) hoặc \(\Rightarrow\hept{\begin{cases}2x-1=m^2\\2x+1=3n^2\end{cases}}\)

TH 1 : \(\hept{\begin{cases}2x-1=3m^2\\2x+1=n^2\end{cases}}\). Ta có : \(n^2=3m^2+2\equiv2\left(mod3\right)\) ( loại )

TH 2 : \(\hept{\begin{cases}2x-1=m^2\\2x+1=3n^2\end{cases}}\) . Dễ thấy m lẻ \(\Rightarrow m=2k+1\)

Khi đo s: \(2x-1=\left(2k+1\right)^2\) 

\(\Rightarrow x^2=k^2+\left(k+1\right)^2\) ( đpcm )

Tại sao 2x+1 và 2x-1 lại nguyên tố cùng nhau vậy bạn?

\(1=\frac{1}{2}\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{z}\right)+\frac{1}{2}\left(\frac{y}{z}+\frac{z}{x}\right)+\frac{1}{2}\left(\frac{z}{x}+\frac{x}{y}\right)\)

\(\ge\sqrt{\frac{x}{y}.\frac{y}{z}}+\sqrt{\frac{y}{z}.\frac{z}{x}}+\sqrt{\frac{z}{x}.\frac{x}{y}}=VP\) (rút gọn lại thôi:v)

Giúp mình với ạ <3 

d, Vi ED la tiep tuyen (chung minh tren) => tam giac EDF vuong tai D

co \(\widehat{CDE}=\frac{1}{2}sd\widebat{DC}=\frac{1}{2}\widehat{COD}=\frac{1}{2}.120=60^o\)

ma \(\widehat{CED}+\widehat{COD}=180^o\Rightarrow\widehat{CED}=180-120=60^o\)

suy ra \(\Delta CED\) deu => EC=CD (1)

mat khac cung co \(\widehat{CFD}=\widehat{CDF}\) (phu hai goc bang nhau)

=> tam giac CDF can tai C

suy ra CD=CF (2)

tu (1),(2) suy ra dpcm

mn ơi giúp tớ với ạ