Ta có: \(x^3+y^3=\left(x+y\right)^3-3xy\left(x+y\right)\)

Thay \(x+y=2\)và \(xy=-2\)vào biểu thức ta được:

\(x^3+y^3=2^3-3.\left(-2\right).2=20\)

x³ + y³ = x³ + 3x²y + 3xy² + y³ - 3x²y - 3xy²

            = ( x³ + 3x²y + 3xy² + y³ ) - ( 3x²y + 3xy² )

            = ( x + y )³ - 3xy( x + y )

            = 2³ - 3.(-2).2

            = 8 + 12 = 20

D = x² - 2x + y² - 4y + 6

= ( x² - 2x + 1 ) + ( y² - 4y + 4 ) + 1

= ( x - 1 )² + ( y - 2 )² + 1

\(\hept{\begin{cases}\left(x-1\right)^2\ge0\forall x\\\left(y-2\right)^2\ge0\forall y\end{cases}}\Rightarrow\left(x-1\right)^2+\left(y-2\right)^2+1\ge1\forall x,y\)

Dấu "=" xảy ra <=> x = 1 ; y = 2

=> MinD = 1 <=> x = 1 ; y = 2

\(D=x^2-2x+y^2-4y+6\)

\(=\left(x^2-2x+1\right)+\left(y^2-4y+4\right)+1\)

\(=\left(x-1\right)^2+\left(y-2\right)^2+1\)

Vì \(\left(x-1\right)^2\ge0\forall x\); \(\left(y-2\right)^2\ge0\forall y\)

\(\Rightarrow\left(x-1\right)^2+\left(y-2\right)^2\ge0\forall x,y\)

\(\Rightarrow\left(x-1\right)^2+\left(y-2\right)^2+1\ge1\forall x,y\)

Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x-1=0\\y-2=0\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=1\\y=2\end{cases}}\)

Vậy \(A_{min}=1\)\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=1\\y=2\end{cases}}\)

Tìm GTNN??

Ta có:

\(M=2x^2+3y^2+x-y-3\)

\(M=2\left(x^2+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}\right)+3\left(y^2-\frac{1}{3}y+\frac{1}{36}\right)-\frac{77}{24}\)

\(M=2\left(x+\frac{1}{4}\right)^2+3\left(y-\frac{1}{6}\right)^2-\frac{77}{24}\ge-\frac{77}{24}\left(\forall x,y\right)\)

Dấu "=" xảy ra khi: \(\hept{\begin{cases}2\left(x+\frac{1}{4}\right)^2=0\\3\left(y-\frac{1}{6}\right)^2=0\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=-\frac{1}{4}\\y=\frac{1}{6}\end{cases}}\)

Vậy \(Min_M=-\frac{77}{24}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=-\frac{1}{4}\\y=\frac{1}{6}\end{cases}}\)

Tìm Min ?

M = 2x² + 3y² + x - y - 3

= 2( x² + 1/2x + 1/16 ) + 3( y² - 1/3y + 1/36 ) - 77/24

= 2( x + 1/4 )² + 3( y - 1/6 )² - 77/24

\(\hept{\begin{cases}2\left(x+\frac{1}{4}\right)^2\ge0\forall x\\3\left(y-\frac{1}{6}\right)^2\ge0\forall y\end{cases}}\Rightarrow2\left(x+\frac{1}{4}\right)^2+3\left(y-\frac{1}{6}\right)^2-\frac{77}{24}\ge-\frac{77}{24}\forall x,y\)

Dấu "=" xảy ra <=> x = -1/4 ; y = 1/6

=> MinM = -77/24 <=> x = -1/4 ; y = 1/6

Bài 1.

1) ( x - 1 )³ - x( x - 3 )² + 1

= x³ - 3x² + 3x - 1 - x( x² - 6x + 9 ) + 1

= x³ - 3x² + 3x - x³ + 6x² - 9x

= 3x² - 6x = 3x( x - 2 )

2) ( x + 2 )² - x²( x + 6 )

= x² + 4x + 4 - x³ - 6x²

= -x³ - 5x² + 4x + 4

3) ( x + 2 )³ - ( x - 2 )³ 

= x³ + 6x² + 12x + 8 - ( x³ - 6x² + 12x - 8 )

= x³ + 6x² + 12x + 8 - x³ + 6x² - 12x + 8

= 12x² + 16 ( có phụ thuộc vào biến )

Bài 2.

1) ( x + 1 )³ - x²( x + 3 ) = 2

<=> x³ + 3x² + 3x + 1 - x³ - 3x² = 2

<=> 3x + 1 = 2

<=> 3x = 1

<=> x = 1/3

2) ( x - 2 )³ - x( x + 1 )( x - 1 ) + 6x² = 5

<=> x³ - 6x² + 12x - 8 - x( x² - 1 ) + 6x² = 5

<=> x³ + 12x - 8 - x³ + x = 5

<=> 13x - 8 = 5

<=> 13x = 13

<=> x = 1

Bài 1:

a) \(\left(x-1\right)^3-x\left(x-3\right)^2+1\)

\(=x^3-3x^2+3x-1-x^3+6x^2-9x+1\)

\(=3x^2-6x\)

b) \(\left(x+2\right)^2-x^2\left(x+6\right)\)

\(=x^2+4x+4-x^3-6x^2\)

\(=-x^3-5x^2+4x+4\)

c) \(\left(x+2\right)^3-\left(x-2\right)^3\)

\(=x^3+6x^2+12x+8-x^3+6x^2-12x+8\)

\(=12x^2+16\)

=> BT phụ thuộc vào biến

Ta có :  \(\frac{a}{a+1}=\frac{a^2+a-a^2}{a+1}=\frac{a\left(a+1\right)}{a+1}-\frac{a^2}{a+1}=a-\frac{a^2}{a+1}\)

Tương tự và cộng theo vế ta được : \(P=a+b+c-\left(\frac{a^2}{a+1}+\frac{b^2}{b+1}+\frac{c^2}{c+1}\right)\)

\(=1-\left(\frac{a^2}{a+1}+\frac{b^2}{b+1}+\frac{c^2}{c+1}\right)\ge1-\frac{\left(a+b+c\right)^2}{a+b+c+3}=1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}\)

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)Vậy GTNN của P = 3/4 đạt được khi a=b=c=1/3

Bài 1.

1) ( 2x + 1 )³ - ( 2x + 1 )( 4x² - 2x + 1 ) - 3( 2x - 1 ) = 15

<=> 8x³ + 12x² + 6x + 1 - [ ( 2x )³ - 1³ ] - 6x + 3 = 15

<=> 8x³ + 12x² + 4 - 8x³ + 1 = 15

<=> 12x² + 15 = 15

<=> 12x² = 0

<=> x = 0

2) x( x - 4 )( x + 4 ) - ( x - 5 )( x² + 5x + 25 ) = 13

<=> x( x² - 16 ) - ( x³ - 5³ ) = 13

<=> x³ - 16x - x³ + 125 = 13

<=> 125 - 16x = 13

<=> 16x = 112

<=> x = 7

Bài 2.

A = ( x + 5 )( x² - 5x + 25 ) - ( 2x + 1 )³ - 28x³ + 3x( -11x + 5 )

= x³ + 5³ - ( 8x³ + 12x² + 6x + 1 ) - 28x³ - 33x² + 15x

= -27x³ + 125 - 8x³ - 12x² - 6x - 1 - 33x² + 15x

= -33x³ - 45x² + 9x + 124 ( có phụ thuộc vào biến )

B = ( 3x + 2 )³ - 18x( 3x + 2 ) + ( x - 1 )³ - 28x³ + 3x( x - 1 )

= 27x³ + 54x² + 36x + 8 - 54x² - 36x + x³ - 3x² + 3x - 1 - 28x³ + 3x² - 3x

= 7 ( đpcm )

C = ( 4x - 1 )( 16x² + 4x + 1 ) - ( 4x + 1 )³ + 12( 4x + 1 )³ + 12( 4x + 1 ) - 15

= ( 4x )³ - 1³ - [ ( 4x + 1 )³ - 12( 4x + 1 )³ - 12( 4x + 1 ) ] - 15

= 64x³ - 1 - ( 4x + 1 )[ ( 4x + 1 )² - 12( 4x + 1 )² - 12 ] - 15

= 64x³ - 16 - ( 4x + 1 )[ 16x² + 8x + 1 - 12( 16x² + 8x + 1 ) - 12 ]

= 64x³ - 16 - ( 4x + 1 )( 16x² + 8x - 11 - 192x² - 96x - 12 )

= 64x³ - 16 - ( 4x + 1 )( -176x² - 88x - 23 )

= 64x³ - 16 - ( -704x³ - 528x² - 180x - 23 )

= 64x³ - 16 + 704x³ + 528x² + 180x + 23 

= 768x³ + 528x² + 180x + 7 ( có phụ thuộc vào biến )

1) Xét 4 số a,b,c,d nguyên dương

4 số đó được gọi là đôi một nguyên tố cùng nhau khi mỗi cặp số bất kỳ trong 4 số đó đều nguyên tố cùng nhau

Cụ thể như sau:

Khi a,b,c,d nguyên tố cùng nhau thì: 

\(\left(a,b\right)=1\) ; \(\left(a,c\right)=1\) ; \(\left(a,d\right)=1\) ; \(\left(b,c\right)=1\) ; \(\left(b,d\right)=1\) ; \(\left(c,d\right)=1\)

2) Theo đề bài ta có: \(\hept{\begin{cases}f\left(x\right)=\left(x+2\right)\cdot P+8\\f\left(x\right)=\left(x-2\right)\cdot Q+20\end{cases}}\) với P,Q là các đa thức

Từ đó suy ra: \(\hept{\begin{cases}f\left(-2\right)=\left(-2+2\right)\cdot P+8=8\\f\left(2\right)=\left(2-2\right)\cdot Q+20=20\end{cases}}\) (1)

Mà khi f(x) chia x² - 4 được thương là -5x và còn dư nên ta có:

G/s f(x) có dạng: \(f\left(x\right)=\left(x^2-4\right)\cdot\left(-5x\right)+mx+n=\left(x-2\right)\left(x+2\right)\left(-5x\right)+mx+n\)

Từ (1) ta có: \(\hept{\begin{cases}\left(-2-2\right)\left(-2+2\right)\left(-5.2\right)-2m+n=8\\\left(2-2\right)\left(2+2\right)\left(-5.2\right)+2m+n=20\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}-2m+n=8\\2m+n=20\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}m=3\\n=14\end{cases}}\)

Vậy \(f\left(x\right)=\left(x^2-4\right).\left(-5x\right)+3x+14\)

\(=-5x^3+20x+3x+14\)

\(=-5x^3+23x+14\)

Theo bạn thì: 

3x² + y² - 2xy -7 = 2x² + x² + y² - 2xy - 7 = 2x² + (x - y)² - 7 \(\ge\)- 7

Vì 2x² và (x - y)² \(\ge\)0

Vậy giá trị nhỏ nhất cần tìm là -7 khi 2x² = (x - y)² = 0 hay x = y = 0.

a. Ta có : (x + y)[(x - y)² + xy]

= (x + y)(x² - 2xy + y² + xy)

= (x + y)(x² - xy + y²)

= x³ + y³ 

b. Ta có : x³ + y³ - xy(x + y) 

= x³ + y³ - x²y - xy²

=x²(x - y) + y²(y - x)

= (x - y)(x² - y²)

= (x - y)².(x + y) đpcm

c) Ta có (x + y)³ - 3xy(x + y)

= (x + y)[(x + y)² - 3xy)

= (x + y)(x² + 2xy + y² - 3xy)

= (x + y)(x² - xy + y²) (đpcm)

a) VP = ( x + y )( x² - 2xy + y² + xy ) = ( x + y )( x² - xy + y² ) = x³ + y³ = VT ( đpcm )

b) VP = ( x + y )( x - y )² = ( x + y )( x² - 2xy + y² ) = x³ - 2x²y + xy² + x²y - 2xy² + y³ = x³ + y³ - x²y - xy² = x³ + y³ - xy( x + y ) = VT ( đpcm )

c) VP = x³ + 3x²y + 3xy² + y³ - 3x²y - 3xy² = x³ + y³ = ( x + y )( x² - xy + y² ) = VT ( đpcm )