Ta có: 

\(\left(a^2+b^2\right)^2=a^4+b^4+2a^2b^2\)=> \(a^2b^2=\frac{1}{4}\)

\(a^2+b^2=\frac{1}{2^0}\)

\(a^4+b^4=\frac{1}{2^1}\) 

\(a^6+b^6=\left(a^4+b^4\right)\left(a^2+b^2\right)-a^2b^2\left(a^2+b^2\right)=\frac{1}{2}.1-\frac{1}{4}.1=\frac{1}{4}=\frac{1}{2^2}\)

\(a^8+b^8=\left(a^6+b^6\right)\left(a^2+b^2\right)-a^2b^2\left(a^4+b^4\right)=\frac{1}{4}.1-\frac{1}{4}.\frac{1}{2}=\frac{1}{8}=\frac{1}{2^3}\)

...

Như vậy chúng ta sẽ đoán được: \(a^{2n+2}+b^{2n+2}=\frac{1}{2^n}\)(1) với n là số tự nhiên.

Chúng ta chứng minh (1) quy nạp theo n.

+) Với n = 0; có: \(a^2+b^2=\frac{1}{2^0}=1\)đúng 

=> (1) đúng với n = 1

+) Giả sử (1) đúng cho tới n 

khi đó: \(a^{2n+2}+b^{2n+2}=\frac{1}{2^n}\)

+) Ta chứng minh (1) đúng với n + 1

Ta có: \(a^{2\left(n+1\right)+2}+b^{2\left(n+1\right)+2}=a^{2n+4}+b^{2n+4}\)

\(=\left(a^{2n+2}+b^{2n+2}\right)\left(a^2+b^2\right)-a^2b^2\left(a^{2n}+b^{2n}\right)\)

\(=\frac{1}{2^n}.1-\frac{1}{4}.\frac{1}{2^{n-1}}=\frac{1}{2^n}-\frac{1}{2^{n+1}}=\frac{1}{2^{n+1}}\)

=> (1) đúng với n + 1

Vậy (1) đúng với mọi số tự nhiên  n.

Do đó:

\(P=a^{2020}+b^{2020}=a^{2.1009+2}+b^{2.1009+2}=\frac{1}{2^{1009}}\)

Cảm ơn bạn rất nhiều.

giúp với!!

Gọi thời gian vòi thứ nhất và vòi thứ 2 chảy 1 mình đầy bể lần lượt là x; y ( > 0; h )

1 giờ vòi thứ nhất chảy được : \(\frac{1}{x}\)(bể)

1 giờ vòi thứ 2 chảy được : \(\frac{1}{y}\)( bể )

+) Cả hai vòi nước chảy trong 1 h thì được nửa bể

=> Có phương trình: \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{2}\)

+) Nếu vòi thứ nhất chảy trong 2 h; vòi thứ 2 chảy trong 1 h thì được 5/6 bể

=> Có phương trình: \(\frac{2}{x}+\frac{1}{y}=\frac{5}{6}\)

Vậy ta có hệ: \(\hept{\begin{cases}\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{2}\\\frac{2}{x}+\frac{1}{y}=\frac{5}{6}\end{cases}}\)<=> \(\hept{\begin{cases}\frac{1}{x}=\frac{1}{3}\\\frac{1}{y}=\frac{1}{6}\end{cases}}\)<=> x = 3 và y = 6 ( tmđk)

Vậy ...

Hoành độ giao điểm của hai đường thẳng là nghiệm phương trình là:

( m - 5 ) x + 1 = 3mx - 2

Theo đề ra: x = -2 là nghiệm phương trình nên : ( m- 5 ) (-2) + 1 = 3m (-2) - 2

<=> -2m + 10 + 1 = -6m -2

<=> 4m = -13

<=> m = -13/4

Vậy:...

a) Ta có hệ phương trình \(\hept{\begin{cases}kx-y=5\\x+y=1\end{cases}}\) Thay nghiệm \(\left(x,y\right)=\left(2,-1\right)\) ta có hệ mới là :

\(\hept{\begin{cases}2k-1=5\\2-1=1\end{cases}\Leftrightarrow k=3}\)

b) Ta có : \(\hept{\begin{cases}kx-y=5\\x+y=1\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}y=1-x\\kx-1-x=5\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}y=1-x\\x\left(k-1\right)=6\end{cases}}\)

Để hệ phương trình có nghiệm duy nhất : \(\Leftrightarrow k-1\ne0\) \(\Leftrightarrow k\ne1\)

Để hệ phương trình vô nghiệm \(\Leftrightarrow k-1=0\Leftrightarrow k=1\)

P/s : Em chưa học lớp 9 nên không biết cách trình bày cho lắm :))

ĐK: \(\hept{\begin{cases}x\ge1\\y\ge1\end{cases}}\)

pt <=> \(2x\sqrt{y-1}+4y\sqrt{x-1}=3xy.\)

<=> \(xy-2x\sqrt{y-1}+2xy-4y\sqrt{x-1}=0\)

<=> \(x\left(y-1\right)-2\sqrt{x}.\sqrt{x\left(y-1\right)}+x+2\left[y\left(x-1\right)-2\sqrt{y}\sqrt{y\left(x-1\right)}+y\right]=0\)

<=> \(\left(\sqrt{x\left(y-1\right)}-\sqrt{x}\right)^2+2\left(\sqrt{y\left(x-1\right)}-\sqrt{y}\right)^2=0\)

<=> \(\hept{\begin{cases}\sqrt{x\left(y-1\right)}-\sqrt{x}=0\\\sqrt{y\left(x-1\right)}-\sqrt{y}=0\end{cases}}\)vì (\(\left(\sqrt{x\left(y-1\right)}-\sqrt{x}\right)^2+2\left(\sqrt{y\left(x-1\right)}-\sqrt{y}\right)^2\ge0\)với mọi x, y)

<=> \(\hept{\begin{cases}\sqrt{x\left(y-1\right)}=\sqrt{x}\\\sqrt{y\left(x-1\right)}=\sqrt{y}\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}y-1=1\\x-1=1\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}y=2\\x=2\end{cases}}\left(tm\right)\)

Kết luận:...

Ths bạn

BT học sinh giỏi lớp 9 :))