mai làm

Chú thích: tđ = trung điểm

tg = tam giác

tt = trung tuyến

Hướng dẫn làm:

Gọi tứ giác ABCD bất kì.

Gọi E là trung điểm AB, F là trung điểm BC, G là trung điểm CD, H là trung điểm DA

Xét tam giác ABC, ta có E tđ AB, F là tđ BC

=> EF là đường trung tuyến tg ABC

=> EF song song AC (1)

Xét tam giác ADC, ta có H tđ AD, G là tđ CD

=> HG là đường trung tuyến tg ADC

=> HG song song AC (2)

(1)(2) => EF song song HG

Xét tam giác ABD, ta có E tđ AB, H là tđ AD

=> EH là đường trung tuyến tg ABD

=> EH song song BD (3)

Xét tam giác DBC, ta có G tđ CD, F là tđ BC

=> GF là đường trung tuyến tg DBC

=>GF song song BD (4)

(3)(4) => EH song song GF

Xét tứ giác EFGH ta có

EF song song HG

EH song song GF

=> tứ giác EFGH là hình bình hành (đpcm)

1/ \(Q=\frac{\left(x-2\right)^2}{x^2+1}+2\ge2\)

Đẳng thức xảy ra khi \(x=2\)

Vậy Min Q là 2 khi x = 2 (đẹp! :v)

P/s: Ngoài ra: \(Q=-\frac{\left(2x+1\right)^2}{x^2+1}+7\le7\)

a, \(\Leftrightarrow\left(x-6\right)\left(x+2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=6\\x=-2\end{cases}}\)

Vậy..............

b, \(\Leftrightarrow\left(x+\frac{2x}{x-2}\right)^2-2x.\frac{2x}{x-2}=12\)

\(\Leftrightarrow\left(\frac{x^2}{x-2}\right)^2-\frac{4x^2}{x-2}=12\)

\(\Leftrightarrow\left(\frac{x^2}{x-2}-6\right)\left(\frac{x^2}{x-2}+2\right)=0\)

Đến đây đơn giản rồi nhé

ĐK: \(\hept{\begin{cases}x\ge0\\x\ne1;y\ne2\end{cases}}\)

pt <=> \(\hept{\begin{cases}\frac{1}{\sqrt{x}-1}+\frac{6}{\left|y-2\right|}=2\\\frac{2-\left(\sqrt{x}-1\right)}{\sqrt{x}-1}-\frac{3}{3\left|y-2\right|}=-9\end{cases}}\)

<=> \(\hept{\begin{cases}\frac{1}{\sqrt{x}-1}+\frac{6}{\left|y-2\right|}=2\\\frac{2}{\sqrt{x}-1}-\frac{1}{\left|y-2\right|}=-8\end{cases}}\)

Đặt: \(\frac{1}{\sqrt{x}-1}=u;\frac{1}{\left|y-2\right|}=v>0\)ta có pt:

\(\hept{\begin{cases}u+6v=2\\2u-v=-8\end{cases}}\)=> tìm u; v sau đó tìm x; y

Đặt \(\left|y-2\right|=u;\sqrt{x}-1=v\)

Hệ trở thành \(\hept{\begin{cases}\frac{1}{v}+\frac{6}{u}=2\\\frac{2}{v}-u=-8\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\frac{2}{v}+\frac{12}{u}=4\\\frac{2}{v}-u=-8\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\frac{12}{u}+u=12\Rightarrow\frac{12+u^2}{u}=12\)

\(\Rightarrow u^2-12u+12=0\)

\(\Delta=12^2-4.12=96,\sqrt{\Delta}=4\sqrt{6}\)

\(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}u=\frac{12+4\sqrt{6}}{2}=6+2\sqrt{6}\\u=\frac{12-4\sqrt{6}}{2}=6-2\sqrt{6}\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}\left|y-2\right|=6+2\sqrt{6}\\\left|y-2\right|=6-2\sqrt{6}\end{cases}}\)

\(\Rightarrow y\in\left\{8\pm2\sqrt{6};-4\pm2\sqrt{6}\right\}\)

Thay vào hệ tính được x nha, th nào ko đúng loại

\(ĐK:x\ge-1\)

\(PT\Leftrightarrow2x^2-5\sqrt{\left(x+1\right)\left(x^2-x+1\right)}=-4\)

Đặt \(\sqrt{x+1}=a,\sqrt{x^2-x+1}=b\left(a,b\ge0\right)\)

\(\Rightarrow2a^2+2b^2-5ab=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-2b\right)\left(2a-b\right)=0\)\

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}a=2b\\2a=b\end{cases}}\)

Đến đây đơn giản rồi nhé

Tự đặt ĐKXĐ ban đầu của đề nha bạn!!!

Đặt a = \(\sqrt{x+1}\) (a \(\ge\)0) ; b = \(\sqrt{x^2-x+1}\)(b \(\ge\)0)

Khi đó ta có pt: 2(a² + b²) - 5ab = 0

<=> (2a - b)(a - 2b) = 0 <=> \(\orbr{\begin{cases}2a-b=0\\a-2b=0\end{cases}}\) <=> \(\orbr{\begin{cases}2a=b\\a=2b\end{cases}}\)

Từ đó chia 2 TH giải ra x nha bạn

\(\hept{\begin{cases}x+y-2xy=0\\x+y-x^2y^2=\sqrt{\left(xy-1\right)^2+1}\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x+y=2xy\\2xy-x^2y^2=\sqrt{x^2y^2-2xy+2}\left(1\right)\end{cases}}\)

đặt 2xy-x^2y^2=t 

=> (1)  \(\Leftrightarrow t=\sqrt{2-t}\)

Tự làm nốt nhé

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x+y-2xy=0\\x+y-x^2y^2=\sqrt{x^2y^2-2xy+2}\end{cases}}\)

Đặt x+y=a, xy=b

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}a-2b=0\\a-b^2=\sqrt{b^2-2b+2}\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=2b\\2b-b^2=\sqrt{b^2-2b+2}\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=2b\\b^4-4b^3+4b^2=b^2-2b+2\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=2b\\b^4-4b^3+3b^2+2b-2=0\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=2b\\\left(b-1\right)^2\left(b^2-2b-2\right)=0\end{cases}}\)

Đến đây đơn giản rồi nhé :P

Gọi số học sinh dự thi trường X, Y lần lượt là a, b (học sinh) (ĐK: a, b thuộc N^*)

Theo đề ta có hê pt: \(\hept{\begin{cases}a+b=350\\\frac{97a}{100}+\frac{96b}{100}=338\end{cases}}\) <=> \(\hept{\begin{cases}a+b=350\\97a+96b=33800\end{cases}}\)<=> \(\hept{\begin{cases}a=200\\b=150\end{cases}}\)(TM)

Vậy ....