a ) Thay m =0 vào phương trình ta được: \(x^2-2x=0\Rightarrow x\left(x-2\right)=0\)0

                                                            \(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}x=0\\x=2\end{cases}}\)

Phương trình \(x^2-2x-2m^2=0\)có các hệ số a = 1; b = -2; c = -2m²

\(\Rightarrow\Delta=b^2-4ac=\left(-2\right)^2-4.1.\left(-2m^2\right)=4+8m^2\)(luôn dương)

Giả sử phương trình có 2 nghiệm x₁; x₂ thì \(\hept{\begin{cases}x_1=\frac{2+\sqrt{4+8m^2}}{2}=1+\sqrt{1+2m^2}\\x_2=\frac{2-\sqrt{4+8m^2}}{2}=1-\sqrt{1+2m^2}\end{cases}}\)

Thay vào dữ kiện \(x_1^2=4x_2^2\), ta được:

\(\left(1+\sqrt{1+2m^2}\right)^2=4\left(1-\sqrt{1+2m^2}\right)^2\)

\(\Leftrightarrow1+1+2m^2+2\sqrt{1+2m^2}=4-8\sqrt{1+2m^2}+4+8m^2\)

\(\Leftrightarrow10\sqrt{1+2m^2}=6m^2+6\)

Bình phương hai vế:

\(100\left(1+2m^2\right)=36m^4+72m^2+36\)

\(\Leftrightarrow36m^4-128m^2-64=0\)

Đặt \(m^2=t\left(t\ge0\right)\)

Phương trình trở thành \(36t^2-128t-64=0\)

\(\Delta=128^2+4.36.64=25600,\sqrt{\Delta}=160\)

\(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}t=\frac{128+160}{72}=4\\t=\frac{128-160}{72}=\frac{-4}{9}\left(L\right)\end{cases}}\)

Vậy t = 4\(\Rightarrow m=\pm2\)

Vậy khi m =-2 hoặc 2 thì  phương trình có 2 nghiệm \(x_1;x_2\)khác 0 và thỏa mãn điều kiện \(x_1^2=4x_2^2\)

Bạn tự vẽ hình nha

Kẻ đường kính AM của (O) \(\Rightarrow D\in BC\)

\(\widehat{ACM}=90^o;\widehat{ABM}=90^o\)(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Ta có: \(\Delta ABH~\Delta AMC\left(g.g\right)\Rightarrow\frac{HB}{CM}=\frac{AB}{AM}\Rightarrow HB.AM=AB.CM\)

\(\Delta HCA~\Delta BMA\left(g.g\right)\Rightarrow\frac{HC}{BM}=\frac{AC}{AM}\Rightarrow HC.AM=AC.BM\)

Chia vế theo vế, ta được: \(\frac{HB}{HC}=\frac{AB.MC}{AC.MB}\left(1\right)\)

Lại có: \(\Delta ADB~\Delta CDM\left(g.g\right)\Rightarrow\frac{DB}{DM}=\frac{AB}{CM}\Rightarrow DB.CM=DM.AB\)

\(\Delta DAC~\Delta DBM\left(g.g\right)\Rightarrow\frac{DC}{DM}=\frac{AC}{BM}\Rightarrow DC.BM=AC.DM\)

Chia vế theo vế, ta được: \(\frac{DB}{DC}=\frac{AB.MB}{AC.MC}\left(2\right)\)

Cộng vế theo vế (1), (2) ta được: \(\frac{HB}{HC}+\frac{DB}{DC}=\frac{AB}{AC}\left(\frac{MC}{MB}+\frac{MB}{MC}\right)\ge\frac{AB}{AC}.2\sqrt{\frac{MC}{MB}.\frac{MB}{MC}}=\frac{2.AB}{AC}\)

Mà \(\frac{AB}{AC}=\frac{sinC}{sinB}\Rightarrow\frac{HB}{HC}+\frac{MB}{MC}\ge\frac{2.sinC}{sinB}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(MB=MC\Leftrightarrow AB=AC\Leftrightarrow\Delta ABC\)cân tại A

Đường tròn mà

\(\frac{3}{4}-P=\frac{1}{4}\Sigma_{cyc}\frac{\left(a-b\right)^2}{\left(2a+b+c\right)\left(2b+c+a\right)}\ge0\)

Vậy \(P\le\frac{3}{4}\)

Cách 2: \(P=\Sigma_{cyc}\frac{a}{2a+b+c}\le\Sigma_{cyc}\frac{a}{4}\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}\right)=\frac{3}{4}\)

 Mình giải hơi dài không biết có đúng không. Bạn tự vẽ hình nha!

Gọi F là trung điểm của AD. I là trung điểm của AC. Ta qui về chứng minh B,F,E thẳng hàng

Trước hết ta chứng minh bài toàn phụ: Từ S ngoài (O) kẻ 2 tiếp tuyến SC,SB và cát tuyến SDA, gọi M là giao của SO với BC thì BC là phân giác của góc AMD (bạn tự chứng mình nha).

Áp dụng vào bài toán ta có: AOMD nội tiếp \(\Rightarrow\widehat{AOD}=\widehat{AMD}\Leftrightarrow\frac{1}{2}\widehat{AOD}=\frac{1}{2}\widehat{AMD}\Leftrightarrow\widehat{ACD}=\widehat{AMB}\)

mà \(\widehat{ACD}+\widehat{ABD}=180^o,\widehat{AMB}+\widehat{AMC}=180^o\Rightarrow\widehat{ABD}=\widehat{AMC}\)

Xét (O) ta có: \(\widehat{ADB}=\widehat{ACB}\)

Suy ra \(\Delta ABD\)đồng dạng với \(\Delta AMC\)(g,g)  mà F là trung điểm AD, I là trung điểm AC suy ra tam giác ABF đồng dạng với tam giác AMI (c.g.c) suy ra \(\widehat{ABF}=\widehat{AMI}\)

Dễ thấy: \(\widehat{OMI}+\widehat{OIC}=90^o+90^o=180^o\)suy ra OMCI nội tiếp suy ra \(\widehat{MIC}=\widehat{MOC}=\frac{1}{2}\widehat{BOC}=\widehat{BAC}\Rightarrow\widehat{AIM}=\widehat{BDC}\)

Kết hợp với \(\widehat{BCD}=\widehat{BAD}=\widehat{MAC}\)(do tam giác ABD đồng dạng với tam giác AMC) suy ra tam giác AIM đồng dạng với tam giác CDB(g.g) suy ra \(\widehat{ABF}=\widehat{AMI}=\widehat{CBD}=\widehat{CAD}=\widehat{ACE}\left(AD//CE\right)=\widehat{ABE}\)suy ra B,F,E thẳng hàng hay BE đi qua trung điểm AD (đpcm)

\(x^2-\left(2m-3\right)x+m\left(m-3\right)=0\)

=> \(x^2-\left(2m-3\right)x+m^2-3m=0\)

 Δ \(=\left(2m-3\right)^2-4\left(m^2-3m\right)\)

\(=4m^2-12m+9-4m^2+12m=9\)

căn  Δ =\(\pm\sqrt{9}=\pm3\)

ta có 2 nghiệm x1, x2

=>\(\orbr{\begin{cases}x1=\frac{2m-3-3}{2}\\x2=\frac{2m-3+3}{2}\end{cases}}\)

=>\(2x1-2x2=4\)

=>\(2m-6-\frac{2m}{2}=4\)

=>\(2m-6-m=4=>m=10\)

\(\Delta=\left(-\left(2m-3\right)\right)^2-4m\left(m-3\right)\)

= 4m² - 12m + 9 - 4m² + 12m

= 9

Suy ra pt trên có 2 no phân biệt

Theo vi-et: \(\hept{\begin{cases}x_1+x_2=2m-3\\x_1.x_2=m\left(m-3\right)\end{cases}}\)

Ta có: x₁ + x₂ = 2m - 3  hay x₁ +  2x₁ - 4 = 2m - 3

<=> 3x₁ = 2m + 1 <=> x₁ = \(\frac{2m+1}{3}\)=> x₂ = \(\frac{4m-10}{3}\)

Ta lại có: x₁.x₂ = m(m - 3)

Hay \(\frac{2m+1}{3}.\frac{4m-10}{3}=m\left(m-3\right)\)

<=> (2m + 1)(4m - 10) = 9(m² - 3m)

<=> 8m² - 20m + 4m - 10 - 9m² + 27m = 0

<=> m² - 11m + 10 = 0

<=> (m - 10)(m - 1) = 0 <=> \(\orbr{\begin{cases}m=10\\m=1\end{cases}}\left(TM\right)\)

Vậy m = 10 hoặc m = 1 thì thỏa mãn đề bài