\(x\left(x^2+x+1\right)=4^y-1\)

\(\Leftrightarrow x^3+x^2+x+1=4^y\)

\(\Leftrightarrow\left(x+1\right)\left(x^2+1\right)=4^y\)( 1 )

Do x,y \(\in\)Z  .    Từ ( 1 )\(\Rightarrow x,y\ge0\)

Nếu x = 0 \(\Rightarrow\)y = 0 ( thỏa mãn ) 

Nếu x > 0 \(\Rightarrow\)y > 0 \(\Rightarrow\)x + 1 chẵn 

Đặt x = 2k + 1 ( k \(\in\)N )

( 1 ) trở thành : \(\left(2k+2\right)\left(4k^2+4k+2\right)=4^y\)

\(\Leftrightarrow\left(k+1\right)\left(2k^2+2k+1\right)=4^{y-1}\)

Vì \(2k^2+2k+1\)là số lẻ mà ước lẻ của \(4^{y-1}\)chỉ có 1 

\(\Rightarrow2k^2+2k+1=1\Rightarrow k=0\)

\(\Rightarrow x=1\Rightarrow y=1\)( t/m )

Vậy PT đã cho có nghiệm ( x ;y ) là ( 1 ; 1 ) ; (0 ; 0 )

\(x+3+\sqrt{1-x^2}=3\sqrt{x+1}+\sqrt{1-x}\)

\(\Leftrightarrow x+1-1+3+\sqrt{1-x^2}=3\sqrt{x+1}+\sqrt{1-x}\)

Đặt \(\hept{\begin{cases}\sqrt{x+1}=a\\\sqrt{1-x}=b\end{cases}}\)

=> phương trình \(\Leftrightarrow a^2-1+3+ab=3a+b\)

\(\Leftrightarrow\left(a-1\right)\left(a+1\right)+3\left(1-a\right)+b\left(a-1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-1\right)\left(a+1-3+b\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-1\right)\left(a-2+b\right)=0\)

Tự làm tiếp nhé~

\(\hept{\begin{cases}x-y=2\\mx+y=3\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}y=x-2\\mx+x-2=3\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}y=x-2\\x\left(m+1\right)=5\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}y=\frac{5}{m+1}-2\\x=\frac{5}{m+1}\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}y=\frac{3-10m}{m+1}\\x=\frac{5}{m+1}\end{cases}}\)

Để nghiệm của htp là các số dương thì \(\hept{\begin{cases}y=\frac{3-10m}{m+1}>0\\x=\frac{5}{m+1}>0\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\frac{3-10m}{m+1}>0\\m+1>0\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}3-10m>0\\m+1>0\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}m< \frac{3}{10}\\m>-1\end{cases}}\)

Vậy \(-1< m< \frac{3}{10}\)thì htp có nghiệm là các số dương

Ta sẽ chứng minh:\(\left(a^2+2\right)\left(b^2+2\right)\left(c^2+2\right)\ge3\left(a+b+c\right)^2\)

Theo nguyên lí Dirichlet, luôn tồn tại ít nhất 2 trong 3 số \(a^2-1,b^2-1,c^2-1\) cùng dấu.

Giả sử đó là \(b^2-1,c^2-1\Rightarrow\left(b^2-1\right)\left(c^2-1\right)\ge0\)

\(\because\) \(\left(a^2+1+1\right)\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{b^2+c^2+1}\) (Bunyakovski)\(\therefore VT\ge\frac{\left(b^2+2\right)\left(c^2+2\right)\left(a+b+c\right)^2}{b^2+c^2+1}\ge3\left(a+b+c\right)^2\)\(\Leftrightarrow\left(b^2+2\right)\left(c^2+2\right)\ge3\left(b^2+c^2+1\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(b^2-1\right)\left(c^2-1\right)\ge0\) (đúng do giả sử)

Từ đó dẫn đến kết luận.

Cách khác: Xét hiệu 2 vế, thu được:

Đúng vì: \(2b^2c^2+b^2-6bc+c^2+2=2\left(bc-1\right)^2+\left(b-c\right)^2\ge0\)

Kiên trì lắm mới làm đây,đang làm tự nhiên máy load lại :(

Áp dụng định lý đường phân giác\(\frac{DB}{DC}=\frac{AB}{AC}=\frac{6}{8}=\frac{3}{4}\)

Áp dụng định lý Pythagoras:\(BC^2=AB^2+AC^2\Rightarrow BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=10\left(cm\right)\)

Đặt \(BD=3k;DC=4k\)

Ta có:\(BD+DC=BC\Rightarrow3k+4k=10\Rightarrow k=\frac{10}{7}\)

\(\Rightarrow BD=\frac{30}{7}\left(cm\right);DC=\frac{40}{7}\left(cm\right)\)

b

Áp dụng định lý Thales:\(\frac{DH}{AC}=\frac{BH}{HA}=\frac{BD}{DC}=\frac{AB}{AC}=\frac{6}{8}=\frac{3}{4}\Rightarrow DH=\frac{3}{4}\cdot8=6\left(cm\right)\)

Đặt \(BH=3q;AH=4q\)

Ta có:\(BH+AH=AC\Rightarrow3q+4q=8\Rightarrow q=\frac{8}{7}\)

\(\Rightarrow AH=\frac{32}{7}\left(cm\right)\)

Áp dụng định lý Pythagoras:\(AH^2+HD^2=AD^2\Rightarrow AD=\sqrt{AH^2+HD^2}=\frac{2\sqrt{697}}{7}\)

Cách 2:

Có một đẳng thức trong tam giác rất đẹp như sau:\(AD^2=AB\cdot AC-BD\cdot DC\)

\(\Rightarrow AD=\sqrt{AB\cdot AC-BD\cdot DC}=\frac{24\sqrt{2}}{7}\)

Tuy nhiên 2 kết quả trên lại khác nhau,mọi người tìm chỗ sai giúp mik được ko ạ ?

\(2\frac{1998}{1999}\)là hỗn số hay \(2.\frac{1998}{1999}\)hả bạn?

Là \(2.\frac{1998}{1999}\)

a) Thay tọa dộ của điểm T vào  dg thẳng d ta dc: -2.(-2) - 6 = -2 (Thỏa mãn)

Vậy điểm T có thuộc dg thẳng d

b) Pt hoành độ giao điểm của (d) và (P) là: -8x² = -2x - 6

<=> 8x² - 2x - 6 = 0

<=> (x - 1)(8x + 6) = 0 <=> \(\orbr{\begin{cases}x=1\\x=-\frac{3}{4}\end{cases}}\)

* Với x = 1 => y = -8

* Với x = -3/4 => y = -9/2

Tự kết luận nha

\(\hept{\begin{cases}2x^2+y^2-4x+2y=1\\3x^2-2y^2-6x-4y=5\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}2\left(x^2-2x+1\right)+\left(y^2+2y+1\right)=4\\3\left(x^2-2x+1\right)-2\left(y^2+2y+1\right)=6\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}2\left(x-1\right)^2+\left(y+1\right)^2=4\\3\left(x-1\right)^2-2\left(y+1\right)^2=6\end{cases}}\)

Đặt \(\hept{\begin{cases}\left(x-1\right)^2=a\left(\ge0\right)\\\left(y+1\right)^2=b\left(\ge0\right)\end{cases}}\)

=> hệ phương trình \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}2a+b=4\\3a-2b=6\end{cases}}\)

Tự giải tiếp nhé